Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 12. Светимость, средняя массовая плотность и блеск Немезиды

• ρ_max = 54579 кг/м³; L_N = 1.208·10²³ Вт = 3.16·10⁻⁴ L☉; m_q = 8.4^m, m_Q = 10.0^m (болометрические)

Дано: $\mathfrak{M}_N \le 0.042\cdot\mathfrak{M}_\odot$, $\mathfrak{R}_N \approx \mathfrak{R}_J = 71492$ км, $T_N = 2400$ К.

Найти: $\rho^{(N)}_{\max}, L_N,$ – ? $\mathfrak{R}_{BH}$ – ?

Решение: Согласно определению, средняя массовая плотность Немезиды определяется отношением ее массы к объему ее тела (шара):

Следовательно, максимальное значение массовой плотности достигается при максимальном значении массы Немезиды, т.е.

Столь большую величину плотности Немезиды можно объяснить, тем что бо́льшая часть ее вещества находится в особом квантовом состоянии – в состоянии вырожденного газа.

Светимость Немезиды оценим по формуле

Теперь легко оценить освещенность, создаваемую Немезидой у поверхности Земли, когда звезда находится в перигелии и афелии своей орбиты:

Учитывая далее, что освещенность, создаваемая звездой с звездной величиной (блеском) $m_0 = 0.0^m$ составляет $E_0 = 2.48\cdot 10^{-8}$ Вт/м$^2$, можно легко вычислить отношения

Учитывая также, что отношение освещенностей, создаваемых двумя звездами у поверхности Земли, звездные величины которых отличаются на $1^m$, равно 2.512, тогда

С использованием калькулятора и метода подбора можно показать, что $m_q = 8.4^m$, $m_Q = 10.0^m$. Т.о., согласно предложенному сценарию болометрическая звездная величина Немезиды заключена в интервале:

Замечание: видимый блеск Немезиды, определяемый в оптическом диапазоне, приблизительно на $5^m$ (величина болометрической поправки) больше указанных величин, поскольку Немезида – относительно холодное тело, которое излучает электромагнитные волны, главным образом, в инфракрасном диапазоне. Тогда в оптический телескоп данная звезда должна представляться объектом с видимым блеском, заключенном в интервале

Несмотря на столь большой блеск, предложенный сценарий существования такой Немезиды представляется крайне маловероятным, поскольку, к настоящему моменту выполнено множество полных обзоров небосвода с использованием мощных оптических телескопов (проницающая сила которых существенно выше указанных значений $m_N^{(v)}$), и астрономами-профессионалами не обнаружено объектов, схожих с Немезидой, согласно предложенному сценарию.

Ответ: $\rho^{(N)}_{\max} = \frac{3}{4\pi}\frac{0.042\cdot\mathfrak{M}_\odot}{\mathfrak{R}_J^3} = 54579$ кг/м$^3$, $L_N = 4\,\pi\,\mathfrak{R}_N^2\,\sigma\,T_N^4 = 1.208\cdot 10^{23}$ Вт $= 3.16\cdot 10^{-4}\,L_\odot$, $m_q = 8.4^m$, $m_Q = 10.0^m$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).