Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 9. Двойная нейтронная звезда и минимальный период ее обращения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 8 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Одним из самых экзотических и пока не обнаруженных на эксперименте объектов является двойная нейтронная звезда (ДНЗ) – система из двух нейтронных звезд, связанных гравитационными силами. Предполагается, что именно такие объекты являются основным источником гравитационных волн. Согласно современным теоретическим моделям, максимальная масса нейтронной звезды оценивается величиной $\mathfrak{M}^{(N)}_{\max} = 3\cdot\mathfrak{M}_\odot$ (здесь $\mathfrak{M}_\odot = 1.989\cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца), при этом ее радиус равен $\mathfrak{R}^{(N)} = 10$ км. Определите минимально возможный период обращения вокруг общего центра масс компонент ДНЗ, если их массы одинаковы и равны $\mathfrak{M}^{(N)}_{\max}$ , а радиусы равны $\mathfrak{R}^{(N)}$ . (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}^{(N)}_{\max} = 3\cdot\mathfrak{M}_\odot$ , $\mathfrak{M}_\odot = 1.989\cdot 10^{30}$ кг, $\mathfrak{R}^{(N)} = 10$ км.

Найти: $T_{\min}$ – ?

Решение: Воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера для компонент двойной нейтронной звезды и системы «Солнце-Земля»:

\frac{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)T^2}{(\mathfrak{M}_\odot + \mathfrak{M}_\oplus)T_\oplus^2} = \frac{(a_1 + a_2)^3}{a_\oplus^3}, \qquad (6)

здесь $\mathfrak{M}_1, \mathfrak{M}_2$ – массы компонент двойной системы, $T$ – период их обращения вокруг центра масс; $a_1, a_2$ – большие полуоси эллиптических орбит компонент; $\mathfrak{M}_\odot, \mathfrak{M}_\oplus$ – массы Солнца и Земли, $T_\oplus, a_\oplus$ – сидерический период обращения и большая полуось земной орбиты ( $T_\oplus = 365.2564$ сут $= 3.156\cdot 10^7$ с, $a_\oplus = 1.496\cdot 10^{11}$ м). Из выражения (6) следует, что

T = T_\oplus\sqrt{\frac{(a_1 + a_2)^3}{a_\oplus^3}\frac{(\mathfrak{M}_\odot + \mathfrak{M}_\oplus)}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}}.

Далее учтем, что масса Солнца много больше массы Земли ( $\mathfrak{M}_\odot \gg \mathfrak{M}_\oplus$ ) и массы компонент двойной звезды равны $\mathfrak{M}_1 = \mathfrak{M}_2 = 3\,\mathfrak{M}_\odot$ . Тогда

T \approx T_\oplus\sqrt{\frac{(a_1 + a_2)^3}{a_\oplus^3}\frac{\mathfrak{M}_\odot}{(3\mathfrak{M}_\odot + 3\mathfrak{M}_\odot)}} = T_\oplus\sqrt{\frac{1}{6}\frac{(a_1 + a_2)^3}{a_\oplus^3}}.

Из последнего выражения следует, что чем меньше сумма $(a_1 + a_2)$ , тем меньше период обращения компонент вокруг центра масс. Очевидно, что данная сумма не может быть меньше суммы радиусов данных звезд, т.е.

(a_1 + a_2) \ge (\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2) = 2\,\mathfrak{R}^{(N)}.

Следовательно,

T_{\min} = T_\oplus\sqrt{\frac{4}{3}\left(\frac{\mathfrak{R}^{(N)}}{a_\oplus}\right)^3} = 1.996\cdot 10^{-11}\cdot T_\oplus = 6.298\cdot 10^{-4}\ \text{с}.

Замечание: полученный результат определяет максимальную частоту вращения ДНЗ:

\nu_{\max} = \frac{1}{T_{\min}} = 1588\,\text{Гц}.

Данная величина определяет также максимальную частоту гравитационных волн, порождаемых ДНЗ и распространяющихся в пространстве, согласно общей теории относительности, и носит фундаментальный значение для поиска последних на эксперименте. Так LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) – лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория, предназначенная для поиска гравитационных волн, в том числе и от ДНЗ, работает в диапазоне частот $30\div 7000$ Гц. Именно гравитационные волны такого диапазона частот излучают двойные звезды, состоящие из белых карликов, нейтронных звезд и черных дыр.

Ответ: $T_{\min} = T_\oplus\sqrt{\frac{4}{3}\left(\frac{\mathfrak{R}^{(N)}}{a_\oplus}\right)^3} = 6.298\cdot 10^{-4}$ с. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf