Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 11. SkyOrbiter-будущие технологии доступа к интернету

• $S_{\mathrm{cov}} = 2\pi\,R_{\oplus}^2\frac{H}{R_{\oplus}+H} = 8.78 \cdot 10^5\ \text{км}^2,\ N_{\min} = 38$

Дано: $H = 22$ км, $\tau = 5$ лет.

Найти: $S_{\mathrm{cov}}$, $N_{\min}$ – ?

Решение:

Рассмотрим положение дрона над поверхностью Земли (см. рис. 6, точка S). Электромагнитный сигнал, излучаемый аппаратурой связи дрона, распространяется по прямой. Наиболее удаленные точки поверхности Земли от дрона, которых еще может достичь сигнал – точки основания сектора (например, А и B) – части поверхности шара, выделенной цветом. При этом зона покрытия сигналом – сам сектор.

Площадь поверхности сектора для шара радиуса $R_{\oplus}$ определяется выражением вида:

где $\alpha$ – угол раствора сектора, т.е. угол между его осью симметрии и радиусом шара, проведенным к точке его основания (см. рис. 6).

Из прямоугольного треугольника $\triangle OAS$ следует, что

В итоге площадь сектора или зоны покрытия есть

здесь мы учли, что $R_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли. Угол раствора между диаметрально противоположными образующими сектора зоны покрытия дрона есть

Тогда минимальное количество таких аппаратов, необходимых для полного покрытия экватора Земли есть

Ответ: $S_{\mathrm{cov}} = 2\pi\,R_{\oplus}^2\frac{H}{R_{\oplus}+H} = 8.78 \cdot 10^5\ \text{км}^2$, $N_{\min} = \left[\frac{360^{\circ}}{\beta}\right] + 1 = 38$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).