Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 12. Кинематика движения дрона SkyOrbiter HA75

• 1) N⁽¹⁾ = 1831 или N⁽²⁾ = 1832
• 2) 138 km
• 3) $4.9 \times 10^{11}$ J

Дано: $a \times b = 75 \times 1.5$ м, $\eta = 10\%$, $f_{\odot} = 1100$ Вт/м$^2$.

Найти: $N$, $\Delta S$, $W$ – ?

Решение:

Указанные пять лет эксплуатации могут включать либо 1 либо 2 високосных года. За один невисокосный год продолжительностью 365 календарных суток, земля делает 366 оборотов вокруг своей оси относительно далеких звезд, в каждом високосном – 367 оборотов. Окончательно количество витков, сделанных дроном вокруг земной оси есть

случай 1: 1 високосный год : $N^{(1)} = 367 + 4 \cdot 366 = 1831.$

случай 2: 2 високосных года : $N^{(2)} = 2 \cdot 367 + 3 \cdot 366 = 1832.$

Избыток расстояния, которое накопится у дрона в суточном движении, в сравнение с точкой поверхности, над которой он парит определяется разностью расстояний, которые пройдут данная точка и дрон, двигаясь по окружностям радиусов $R_{\odot}$ и $R_{\odot} + H$, где $R_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, $H$ – высота дрона над поверхностью Земли. В итоге

Оценим максимальное количество электрической энергии ($W_{\max}$), которое могли выработать солнечные батареи дрона за все время эксплуатации. Для этого учтем, что на экваторе продолжительность дня в среднем составляет $\tau_1 = 12$ часов или 0.5 суток. Если все время эксплуатации условия для приема солнечной энергии были оптимальными, то количество энергии

где $N_{\mathrm{days}}$ – количество дней в указанной пятилетке. Очевидно, возможны два альтернативных результата:

случай 1: 1 високосный год : $N_{\mathrm{days}}^{(1)} = 366 + 4 \cdot 365 = 1826.$

случай 2: 2 високосных года : $N_{\mathrm{days}}^{(2)} = 2 \cdot 366 + 3 \cdot 365 = 1827.$

В итоге имеем два ответа: $W_{\max}^{(1)} = W_{\max}^{(2)} = 9.76 \cdot 10^{11}$ Дж. Среднюю величину энергии можно оценить как

Ответ: 1) $N^{(1)} = 1831$ или $N^{(2)} = 1832$; 2) $\Delta S = 2\pi\,H = 138\,\text{км}$, 3) $\bar{W} = \frac{1}{2}W_{\max} \approx 4.9 \cdot 10^{11}$ Дж. ($\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).