Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. Линейные размеры тени и полутени Луны

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 12 т.

Уровень «Новичок»

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень «Знаток»

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень «Профи»

Уровень «Профи» (уровень C)

Уровень «Новичок»

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень «Знаток»

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень «Профи»

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В некоторый момент времени на земном экваторе наблюдается полное солнечное затмение. Оцените возможные линейные размеры тени и полутени, отбрасываемые Луной на земную поверхность. (12 баллов).

Отговори

Решение

Схема (не в масштабе): слева Солнце (желтый круг, центр O_1, точки E_1, A_1, B_1), в середине Луна (голубой круг, центр O_2, точки A_2, B_2, C_2), справа поверхность Земли (вертикальная линия с точками G_1, S_1, O_3, S_2, G_2); касательные лучи образуют сходящийся конус тени с вершиной F_1 и углом α (область I, темно-серая) и расходящийся конус полутени через точку F_2 с углом β (область II, светло-серая); область III вне полутени. — Рис. 8: к определению линейных размеров тени и полутени Луны.

Рассмотрим процесс формирования тени полутени Луны у поверхности Земли. Поскольку Солнце много больше (в 400 раз!) Луны, то всегда существуют световые лучи (например, $A_1A_2$ , на рис. 8), которые проходят по касательной к поверхностям данных тел (с одной стороны относительно прямой, проходящей через центры данных тел) и образуют внешнюю границу сходящегося к Земле конуса тени (область I за Луной).

Всегда существуют световые лучи, которые проходят в касательную, по разные стороны тел относительно прямой, проходящей через центры данных тел. Последние образуют внешнюю границу расходящегося конуса полутени (область II за Луной).

Определим угол $\alpha$ при вершине $F_1$ конуса тени и расстояние $O_2F_1$ от центра Луны до вершины. Для этого воспользуемся подобием треугольников $\triangle O_1A_1F_1$ и $\triangle O_2A_2F_1$ :

\frac{O_1A_1}{O_2A_2} = \frac{O_1F_1}{O_2F_1},\ \Rightarrow\ L_2 = O_2F_1 = O_1F_1\left(\frac{O_2A_2}{O_1A_1}\right) = (O_1O_2 + L_2)\left(\frac{O_2A_2}{O_1A_1}\right).

Учтем далее, что $O_1A_1 = \Re_{\odot} = 695500$ км – радиус Солнца, $O_2A_2 = \Re_{\text{☾}} = 1737$ км – радиус Луны, тогда пусть

\nu = \frac{\Re_{\text{☾}}}{\Re_{\odot}} = 2.498 \cdot 10^{-3}.

$\Delta = O_1O_2 = r_{\odot} - r_{\text{☾}}$ – расстояние между Солнцем и Луной в фазе затмения. Расстояние Солнца ( $r_{\odot}$ ) и Луны ( $r_{\text{☾}}$ ) от Земли изменяются в следующих пределах (см. например, Wikipedia):

147098290\,\text{км} \leq r_{\odot} \leq 152098232\,\text{км},\quad (363104 - 6378)\,\text{км} \leq r_{\text{☾}} \leq (405696 - 6378)\,\text{км}, \qquad (8)

следовательно, расстояние $\Delta$ может изменяться в пределах:

146698972\,\text{км} \leq \Delta \leq 151741506\,\text{км}.

Тогда

L_2\,(1 - \nu) = \nu\,\Delta,\ \Rightarrow\ L_2 = \frac{\nu\,\Delta}{1 - \nu}. \qquad (9)

В итоге

367651\,\text{км} \leq L_2 \leq 380289\,\text{км}. \qquad (10)

Тогда синус угла $\alpha$ есть

\sin\alpha = \frac{\Re_{\text{☾}}}{L_2},\ \Rightarrow\ \alpha = \arcsin\left[\frac{\Re_{\text{☾}}}{L_2}\right] \approx \Re_{\odot}\left[\frac{1 - \nu}{\Delta}\right].

Тогда диаметр пятна лунной тени на земном экваторе есть

D_{\mathrm{Sh}} = S_1S_2 = 2\,O_3F_1\,\mathrm{tg}\,\alpha \approx 2(L_2 - r_{\text{☾}})\Re_{\odot}\left[\frac{1 - \nu}{\Delta}\right] = 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,\Delta}{1 - \nu} + r_{\odot} - r_{\text{☾}} - r_{\odot}\right)\left[\frac{1 - \nu}{\Delta}\right] =

= 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,\Delta}{1 - \nu} + \Delta - r_{\odot}\right)\left[\frac{1 - \nu}{\Delta}\right] = 2\Re_{\odot}\left(1 - \frac{r_{\odot}(1 - \nu)}{\Delta}\right) = 2\Re_{\odot}\left(1 - \frac{1 - \nu}{1 - x}\right),\ x = \frac{r_{\text{☾}}}{r_{\odot}}.

В итоге

D_{\mathrm{Sh}} = 2\Re_{\odot}\left(1 - \frac{1 - \nu}{1 - x}\right),\ \text{где}\ x = \frac{r_{\text{☾}}}{r_{\odot}}. \qquad (11)

Из последнего результата следует, что диаметр пятна достигает максимального значения, в случае, когда параметр $x$ принимает минимальное значение (т.е. когда Земля находится в афелии своей орбиты, а Луна в перигее своей орбиты). При $x = \nu$ диаметр пятна лунной тени становится равным нулю! Поскольку $x$ может принимать значения из интервала:

2.345 \cdot 10^{-3} \leq x \leq 2.715 \cdot 10^{-3}, \qquad (12)

то диаметр пятна лунной тени может принимать значения из интервала

0 \leq D_{\mathrm{Sh}} \leq 213\,\text{км}.

Определим далее диаметр лунной полутени $G_1G_2$ . Воспользуемся подобием треугольников $\triangle O_1B_1F_2$ и $\triangle O_2B_2F_2$ :

\frac{O_1B_1}{O_2B_2} = \frac{O_1F_2}{O_2F_2},

учитывая, что $O_1B_1 = \Re_{\odot}$ , $O_2B_2 = \Re_{\text{☾}}$ , $O_2F_2 = \rho$ , $O_1F_2 = \Delta - \rho$ , тогда последнее уравнение можно представить в виде:

\frac{\Re_{\odot}}{\Re_{\text{☾}}} = \frac{\Delta - \rho}{\rho},\ \Rightarrow\ \rho = \frac{\nu\,\Delta}{1 + \nu}.

Тогда синус угла $\beta$ , есть

\sin\beta = \frac{\Re_{\text{☾}}}{\rho},\ \Rightarrow\ \beta \approx \frac{\Re_{\text{☾}}\,(1 + \nu)}{\nu\,\Delta} = \frac{\Re_{\odot}(1 + \nu)}{\Delta}.

В итоге диаметр лунной полутени есть

D_{\mathrm{S-Sh}} = G_1G_2 = 2\,F_2O_3\,\mathrm{tg}\,\beta \approx 2(\rho + r_{\text{☾}})\Re_{\odot}\left[\frac{1 + \nu}{\Delta}\right] = 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,\Delta}{1 + \nu} - (r_{\odot} - r_{\text{☾}}) + r_{\odot}\right)\left[\frac{1 + \nu}{\Delta}\right] =

= 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,\Delta}{1 + \nu} - \Delta + r_{\odot}\right)\left[\frac{1 + \nu}{\Delta}\right] = 2\Re_{\odot}\left(\frac{r_{\odot}(1 + \nu)}{\Delta} - 1\right) = 2\Re_{\odot}\left(\frac{1 + \nu}{1 - x} - 1\right),\ x = \frac{r_{\text{☾}}}{r_{\odot}}.

В итоге

D_{\mathrm{S-Sh}} = 2\Re_{\odot}\left(\frac{1 + \nu}{1 - x} - 1\right),\ \text{где}\ x = \frac{r_{\text{☾}}}{r_{\odot}}. \qquad (13)

В отличие от случая с пятном лунной тени, в данном случае диаметр пятна полутени принимает максимальное значение при максимальном значении $x$ . В данном случае диаметр полутени всегда отличен от нуля, но принимает минимальное значение, когда $x$ также минимален, в итоге

6752\,\text{км} \leq D_{\mathrm{S-Sh}} \leq 7271\,\text{км}.

Ответ: возможные размеры тени $0 \leq D_{\mathrm{Sh}} \leq 213\,\text{км}$ , полутени – $6752\,\text{км} \leq D_{\mathrm{S-Sh}} \leq 7271\,\text{км}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_8-9 classes.pdf