Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. Продолжительность истинных солнечных суток у планет

• Наименьшие по продолжительности солнечные сутки — у Юпитера (0.414 сут), максимальные — у Меркурия (175.938 сут).

Решение: как известно, истинными солнечными сутками называется промежуток времени ($T_P^{(\odot)}$), между двумя последовательными одноименными кульминациями истинного Солнца (центра видимого диска Солнца) для наблюдателя в данной точке поверхности планеты. За начало таких суток принимается момент нижней кульминации светила. Но следить за продолжительностью суток удобнее, периодически наблюдая Солнце в верхней кульминации. Данное определение справедливо даже для тех точек поверхности планеты, где Солнце является невосходящим светилом.

При любом положении оси вращения планеты относительно ее плоскости орбиты и, как следствие, при любом статусе истинного Солнца (является незаходящим, восходящим и заходящим или невосходящим светилом) величина $T_p^{(\odot)}$, определяется сидерическим периодом ($P_p$) вращения планеты вокруг своей оси и сидерическим периодом ($T_p$) ее обращения вокруг Солнца. Введем соответствующие угловые скорости: $\vec{\omega}_{\odot}$, $\vec{\omega}_P$, $\vec{\omega}_T$, модули которых есть

Рассмотрим две системы отсчета, жестко связанные с центрами 1) Солнца – гелиоцентрическую (ГСО), являющуюся инерциальной) и 2) планеты – планетоцентрическую (ПСО), не являющуюся инерциальной. В ГСО планета вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\vec{\omega}_P$, при этом ПСО совершает вращательное движение относительно ГСО с угловой скоростью $\vec{\omega}_T$. В результате вращения планеты все точки ее поверхности в ПСО имеет угловую скорость $\vec{\omega}_{\odot}$. Поскольку движение истинного Солнца является следствием указанных движений – то его угловая скорость видимого движения по небосводу есть $-\vec{\omega}_{\odot}$. Следовательно, можно воспользоваться законом сложения угловых скоростей:

где $\alpha$ – наклон оси вращения – угол отклонения оси вращения небесного тела от перпендикуляра к плоскости его орбиты или что тоже самое угол между плоскостью орбиты планеты и плоскостью ее экватора. В итоге

С использованием значений параметров для классических планет, представленных в таблице 2, выполнен расчет искомых величин, которые представлены в последнем столбце таблицы 2.

Из результатов следует, что величина периода вращения ($P_p$) планет, главным образом, определяет величину $T_p^{(\odot)}$, в случае Земли-Нептуна. И лишь только в случае Меркурия и Венеры данные значения существенно разнятся, поскольку для них $T_p$, $P_p$ относительно близки по значениям. Наименьшие по продолжительности солнечные сутки наблюдаются у Юпитера (0.414 сут), а максимальные – у Меркурия (175.938 сут).

Таблица 2: параметры планет и результаты расчета.

Ответ: наименьшие по продолжительности солнечные сутки наблюдаются у Юпитера (0.414 сут), а максимальные – у Меркурия (175.938 сут). ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).