Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Транзит Земли по диску Солнца и его наблюдение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 10 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. Вычислите (как можно точнее) величину телесного угла, соответствующего области небесной сферы, с которой можно наблюдать а) полный б) частный транзит Земли по диску Солнца. Орбиту Земли считать эллиптической. Какова величина в) относительного изменения потока солнечного излучения (в %) и г) амплитуды падения блеска Солнца при полном транзите планеты по диску центральной звезды, если его наблюдать с расстояния 10 пк? (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $r = 10$ пк.

Найти: $\Omega_f$ , $\Omega_p$ – ? $\eta$ , $\Delta m_{\odot}$ – ?

Решение: Рассмотрим систему «Солнце-Земля» см. рис. 13. Предположим, что гипотетический наблюдатель ведет наблюдения Солнца с расстояния, много большего размеров указанной системы. Для того чтобы он мог наблюдать полный транзит Земли по диску Солнца необходимо, чтобы Земля оказалась "зажатой" между лучами $J_1GB_2$ и $J_2GA_2$ , а сам наблюдатель оказался внутри телесного угла с углом раствора $\angle J_1GJ_2 = \beta$ .

Схема системы Солнце–Земля: желтый диск Солнца с центром S и радиусом ℜ⊙, точки A1, A2, B1, B2 на его краю; синий диск Земли с центром E и радиусом ℜ⊕, точки D1, D2, F1, F2; прямые, касательные к обоим дискам, пересекаются в точке C (угол α) и в точке G (угол β); r⊕ — расстояние SE; справа лучи к точкам K1, J1, J2, K2 с подписями «Частный транзит», «Полный», «Частный транзит». — Рис. 13: к определению телесных углов полного и частного транзита Земли по диску Солнца.

Для наблюдения частного транзита Земли по диску Солнца необходимо, чтобы Земля была "зажата" между лучами $K_1CB_1$ и $J_1GB_2$ или $K_2CA_1$ и $J_2GB_2$ , а сам наблюдатель находился внутри телесного угла с углами раствора $\alpha - \beta$ . Определим указанные углы. Для определения угла $\beta$ рассмотрим треугольники $\triangle GSA_2$ и $\triangle GED_2$ , которые, очевидно, подобны друг другу (например, по двум одинаковым углам). Из подобия треугольников следует, что

\sin\frac{\beta}{2} = \frac{ED_2}{EG} = \frac{SA_2}{SG}, \ \Rightarrow \ \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{x} = \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{x + r_{\oplus}}, \ \Rightarrow \ \gamma = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}} = \frac{x}{x + r_{\oplus}}, \ \Rightarrow

Небесная сфера с Солнцем в центре и красной орбитой Земли; вдоль эклиптики заштрихована полоса ширины α; подписи «Небесная сфера», «Орбита Земли», «Солнце», «Земля», «Эклиптика», угол α и элемент dφ. — Рис. 14: к определению области на небесной сфере, с которой можно наблюдать (частный или полный) транзит Земли по диску Солнца.

x = \frac{\gamma\,r_{\oplus}}{1 - \gamma}, \ \Rightarrow \ \sin\frac{\beta}{2} \approx \frac{\beta}{2} = \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{r_{\oplus}}(1 - \gamma). \qquad (29)

где $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км, $\mathfrak{R}_{\odot} = 695500$ км – радиусы Земли и Солнца соответственно ( $\gamma = 9.16\cdot 10^{-3}$ ), $r_{\oplus}$ – гелиоцентрическое расстояние Земли; $EG = x$ . Здесь учтено также, что угол $\beta$ является малым. Учитывая, что уравнение эллипса орбиты Земли есть

r_{\oplus} = \frac{a_{\oplus}(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}{1 + \varepsilon_{\oplus}\cos\varphi}. \qquad (30)

здесь $a_{\oplus} = 149597870$ км, $\varepsilon_{\oplus} = 0.017$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты Земли; $\varphi$ – полярный угол Земли, отсчитываемый от перигелия. В итоге угол $\beta$ представляется в виде:

\beta = 2\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 - \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}(1 + \varepsilon_{\oplus}\cos\varphi). \qquad (31)

Т.о. угол $\beta$ зависит от параметров орбиты $a_{\oplus}$ , $\varepsilon_{\oplus}$ и положения планеты на орбите.

Аналогично рассуждая для подобных треугольников $\triangle SA_1C$ и $\triangle CF_1E$ , можем записать условие подобия:

\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{SA_1}{SC} = \frac{EF_1}{EC}, \ \Rightarrow \ \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{r_{\oplus} - y} = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{y}, \ \Rightarrow

\frac{y}{r_{\oplus} - y} = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}} = \gamma, \ \Rightarrow \ y = \frac{\gamma\,r_{\oplus}}{1 + \gamma}, \ \Rightarrow

\sin\frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2} = \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{r_{\oplus}}(1 + \gamma).

\alpha = 2\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 + \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}(1 + \varepsilon_{\oplus}\cos\varphi). \qquad (32)

Область полного транзита Земли по диску Солнца представляет узкую полосу переменной ширины $\beta$ , которой соответствует телесный угол $\Omega_f$ (см. рис. 14). Телесный угол $d\Omega_f$ , соответствующий малой площадке ширины $d\varphi$ и высотой $\beta$ есть величина

d\Omega_f = \beta\,d\varphi = 2\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 - \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}(1 + \varepsilon_{\oplus}\cos\varphi)d\varphi.

Очевидно, что полный телесный угол представляется в виде:

\Omega_f = \int d\Omega_f = 2\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 - \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}\int_0^{2\pi}(1 + \varepsilon_{\oplus}\cos\varphi)d\varphi =

= 2\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 - \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}\left[\int_0^{2\pi}d\varphi + \varepsilon_{\oplus}\int_0^{2\pi}\cos\varphi d\varphi\right].

\Omega_f = 4\pi\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 - \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)} = 5.790\cdot 10^{-2}\ \text{срад} = 190.09\ \text{кв. град.} \qquad (33)

Аналогично рассуждая, можно показать, что телесный угол, отвечающий какому-либо транзиту Земли (полному или частному), есть

\Omega_t = 4\pi\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{(1 + \gamma)}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)}. \qquad (34)

Тогда телесный угол, отвечающий лишь частному транзиту Земли, представляется в виде:

\Omega_p = \Omega_t - \Omega_f = 8\pi\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\frac{\gamma}{(1 - \varepsilon_{\oplus}^2)} = 1.07\cdot 10^{-3}\ \text{срад} = 3.51\ \text{кв. град.} \qquad (35)

При наблюдении Солнца (вне транзита) с какой-либо удаленной точки пространства, например с расстояния 10 пк, поток ( $\Phi_0$ ) излучения, приходящий к приемнику излучения, равен произведению силы света $I$ и телесного угла $\Omega_{\odot}$ , под которым наблюдается Солнце с данной точки:

\Phi_0 = I\,\Omega_{\odot} = I\,\frac{\pi\,\mathfrak{R}_{\odot}^2}{r^2}.

При наблюдении полного транзита Земли по диску Солнца с той же точки пространства, поток ( $\Phi$ ) излучения, приходящий к приемнику излучения будет равен

\Phi = I\,(\Omega_{\odot} - \Omega_{\oplus}) = I\,(\Omega_{\odot} - \Omega_{\oplus}) = \pi\,I\frac{(\mathfrak{R}_{\odot}^2 - \mathfrak{R}_{\oplus}^2)}{r^2}.

Тогда относительное изменение потока излучения представляется в виде:

\eta = \frac{\Phi_0 - \Phi}{\Phi_0}\times 100\% = \left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}}\right)^2\times 100\% = \gamma^2\times 100\% = 8.39\cdot 10^{-3}\%. \qquad (36)

Амплитудой падения блеска Солнца при полном транзите планеты по его диску называется изменение звездной величины центрального светила, в силу указанного феномена, т.е.

\Delta m_{\odot} = m_{\odot} - m_{\odot}^{(0)} = -2.5\lg\left(\frac{\Phi}{\Phi_0}\right) = -2.5\lg\left[1 - \left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}}\right)^2\right] =

= -2.5\ \lg e\ \ln\left[1 - \gamma^2\right],

\Delta m_{\odot} \approx 2.5\ \lg e\,\gamma^2 \approx 10^{-4\mathrm{m}}. \qquad (37)

При записи последнего выражения мы учли, что $\ln(1 + x) \approx x$ , при $x \ll 1$ . Очевидно, что величины $\eta$ и $\Delta m_{\odot}$ не зависят от величины $r$ и справедливы для любых расстояний, удовлетворяющих условию $r_{\oplus} \ll r$ .

Ответ: представляется результатами (33)-(37). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf