Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 4. Высота полета и время транзита самолета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 4 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. Опираясь на данные предыдущей задачи, оцените по фотографии 1

а) линейную высоту $H$ над Землей, на которой летел самолет, если солнечное затмение наблюдалось на высоте $h_{\odot} = 15^{\circ}$ ;

б) время его транзита по диску Луны, если известно, что самолет следовал со своей максимальной крейсерской скоростью $V = 840$ км/ч, причем вектор скорости самолета все это время лежал в картинной плоскости и был направлен вдоль корпуса самолета.

(4 балла).

Отговори

Решение

Дано: $h_{\odot} = 15^{\circ}$ , $V = 840$ км/ч.

Найти: $H$ , $\tau$ – ?

Решение: а) для определения линейной высоты самолета над горизонтом рассмотрим плоский треугольник $\triangle OCP$ , лежащий в плоскости вертикала самолета, вершины которого совпадают с центром Земли ( $C$ ), с точкой, где находился автор фотографии ( $O$ ) и самолет ( $P$ , см. рис. 8).

Для данного треугольника по теореме косинусов можно легко определить сторону $CP$ :

\begin{aligned} CP &= \sqrt{OC^2 + OP^2 - 2\cdot OC\cdot OP\cos(90^{\circ} + h_{\oplus})} = \\ &= \sqrt{\mathfrak{R}_{\oplus}^2 + \Delta^2 - 2\,\mathfrak{R}_{\oplus}\,\Delta\,\cos(90^{\circ} + h_{\oplus})} = \mathfrak{R}_{\oplus}\times \\ &\times\sqrt{1 + 2\chi\sin h_{\oplus} + \chi^2}, \quad \text{где} \ \chi = \frac{\Delta}{\mathfrak{R}_{\oplus}} \ll 1. \end{aligned} \qquad (9)

Круг (Земля) с центром C; из C проведены радиусы ℜ⊕ к точке наблюдателя O на поверхности (с прямым углом к касательной — горизонту) и к точке H под самолетом; от O к самолету P проведен отрезок Δ под углом h⊙ к горизонту; отмечены точки O, P, H, C. — Рис. 8: к определению линейной высоты самолета.

Воспользуемся биномиальным приближением вида:

(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha\,x, \ \text{при} \ x \ll 1.

В результате (9) представляется в виде:

CP = \mathfrak{R}_{\oplus}\left(1 + \chi\sin h_{\oplus} + \frac{1}{2}\chi^2\right) \qquad (10)

Иначе, согласно рис. 8, имеем

CP = \mathfrak{R}_{\oplus} + H,

Из сопоставления последнего выражения и формулы (10) в результате получаем

H = \mathfrak{R}_{\oplus}\left(\chi\sin h_{\oplus} + \frac{1}{2}\chi^2\right) = 7.9\,\text{км}, \qquad (11)

где мы учли, что $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, $\chi = 4.74\cdot 10^{-3}$ .

б) Определить точное время транзита самолета по диску Луны затруднительно, поскольку видимость ее диска ограничена облачными массами, и потому невозможно точно определить длину хорды, по которой двигался самолет. Далее учтем, что угловой диаметр Луны ( $D''_{\text{☾}}$ ) приблизительно равен угловому диаметру ( $D''_{\odot}$ ) Солнца. Рассмотрим частный случай – движение самолета по диаметру диска Луны. Тогда расстояние, которое должен пройти самолет, чтобы пересечь диск Луны, с точки зрения наблюдателя (автора фотографии) есть $L = 2\Delta\,\mathrm{tg}(D''_{\text{☾}}/2) \approx \Delta\left(D''_{\text{☾}}/3438'\right) = 0.281$ км. Следовательно, максимально возможное время транзита составит

\tau_{\max} = \frac{L}{V} = \frac{\Delta}{V}\left(\frac{D''_{\text{☾}}}{3438'}\right) = 1.2\,\text{с}.

Реальное время транзита $\tau \le \tau_{\max}$ .

Ответ: а) $H = 7.9$ км; б) $\tau \le 1.2$ с. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 4$ балла).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf