Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 5. Покрытие Луной звезд, видимых невооруженным глазом

• $N_{\mathrm{ecl}}^{(1)} = 28$, $\nu_{\mathrm{ecl}} \approx 1.0$ зв./сут, $N_{\mathrm{ecl}}^{(2)} \approx 539$

Решение: за один сидерический месяц ($T_{\text{☾}} = 27.32$ сут) Луна совершает один полный оборот вокруг Земли относительно звезд. Следовательно, своим телом Луна заметает на звездном небе полосу шириной, равной угловому диаметру Луны – $D''_{\text{☾}} = 32' = 9.31\cdot 10^{-3}$ рад и длиной – $\ell = 2\pi$ рад. Следовательно, общая площадь небосвода, заметаемая телом Луны за сидерический месяц есть

Поскольку звезды, согласно условию задачи, распределены равномерно, то отношение количества звезд, покрываемых телом Луны ($N_{\mathrm{ecl}}^{(1)}$), к общему количеству звезд ($N_{\mathrm{tot}}$) будет равно отношению площадей $S_{\text{☾}}$ к площади всей небесной сферы:

Следовательно,

При этом частоту покрытия телом Луны подобных звезд можно вычислить как

Т.о. покрытие Луной таких звезд должно происходить достаточно часто.

За 18.6 лет узлы орбиты Луны, а следовательно, и сама орбита сделает один полный оборот по эклиптике. Следовательно, за большой промежуток времени, например, 558 лет (что эквивалентно $30 \times 18.6$ лет), орбита Луны совершит множество (30) оборотов по эклиптике, при этом побывает фактически в каждой точке полосы небесной сферы, в центре которой находится эклиптика и ширина которой $2\cdot i_{\text{☾}} = 10^{\circ}12'$. Угловую площадь данной полосы следует вычислить посредством вычитания из площади ($S_{\mathrm{tot}}$) всей сферы площади ($S_{\mathrm{sec}}$) двух одинаковых шаровых секторов с углом раствора $90^{\circ} - i_{\text{☾}}$. Тогда

Аналогично рассуждая, можно определить максимальное количество таких звезд, которые может покрыть Луна за большой промежуток времени:

Ответ: $N_{\mathrm{ecl}}^{(1)} = 28$, $\nu_{\mathrm{ecl}} \approx 1.0$ зв./сут, $N_{\mathrm{ecl}}^{(2)} \approx 539$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 4$ балла).