Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 7. Ближайшие квадратуры Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 6 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Инфографика «МАРС В 2016 ГОДУ — видимый размер в сравнении с Луной»: двенадцать дисков Марса по месяцам над краем лунного диска с подписями угловой диаметр/звездная величина: Янв. 6″, 1.0m; Февр. 8″, 0.5m; Март 11″, -0.4m; Апр. 15″, -0.7m; 22 мая 18.4″, -2.1m; Июнь 17″, -1.6m; Июль 14″, -1.0m; Авг. 11″, -0.3m; Сент. 9″, 0.0m; Окт. 8″, 0.2m; Нояб. 7″, 0.5m; Дек. 6″, 0.8m. — Рис. 2: к определению видимого образ Марса в различные моменты 2016 года, на фоне части диска Луны (источник: astro-lert.ru).

Условие. На рис. 2 даны образы Марса (с указанием его углового диаметра и видимой звездной величины), которыми будет представляться данная планета землянину ежемесячно в 2016 году. Только с использованием радиуса Красной планеты ( $\mathfrak{R}_{\text{♂}} = 3396$ км) и данных, представленных на рис. 2, определите какой из образов (укажите соответствующий ему месяц) будет соответствовать ему в а) западной квадратуре, б) восточной квадратуре? Оцените даты данных событий, угловые диаметры и видимую звездную величину Красной планеты в указанных конфигурациях. Орбиты Марса и Земли считать круговыми. Радиус земной орбиты равен $a_{\oplus} = 1.00$ а.е., а период ее обращения вокруг Солнца – $T_{\oplus} = 1.000$ год. (6 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{R}_{\text{♂}} = 3396$ км, $a_{\oplus} = 1.00$ а.е., $T_{\oplus} = 1$ год.

Найти: $D''_{\text{♂}}$ , $m_V$ – ? даты – ?

Решение: Как известно, квадратурой называется конфигурация верхней планеты, при которой она отстоит от Солнца на $90^{\circ}$ . Если светило при этом находится к востоку от Солнца (см. рис. 10, точка $K_{\text{в}}$ ), конфигурация называется восточной квадратурой, к западу – западной квадратурой (см. рис. 10, точка $K_{\text{з}}$ ). Для определения искомых величин, необходимо знать геоцентрическое расстояние Марса в квадратуре – $\Delta_{\text{к}}$ и угол $\alpha$ между радиусами-векторами планет, проведенными из центра Солнца (см. рис. 10). Из треугольника $\triangle SEK_{\text{з}}$ следует, что

\Delta_{\text{к}} = \sqrt{a_{\text{♂}}^2 - a_{\oplus}^2}, \quad \alpha = \arccos\left[\frac{a_{\oplus}}{a_{\text{♂}}}\right], \qquad (16)

здесь $a_{\text{♂}}$ – радиус орбиты Марса. Последняя величина является неизвестной. Однако, ее можно определить, если рассмотреть положение Марса в противостоянии – конфигурации верхней планеты, при которой она отстоит от Солнца на $180^{\circ}$ для земного наблюдателя. Именно в данной конфигурации планета ближе всего подходит к Земле и видна под наибольшим углом. Этой ситуации на рис. 2 отвечает образ Красной планеты, соответствующий 22 мая 2016 года. Угловой диаметр планеты в конфигурации противостояния определяется посредством геоцентрического расстояния ( $\Delta_{\text{п}}$ ) планеты:

D''_{\text{♂}\ \max} = 206265''\left(\frac{2\,\mathfrak{R}_{\text{♂}}}{\Delta_{\text{п}}}\right), \ \Rightarrow \ \Delta_{\text{п}} = 206265''\left(\frac{2\,\mathfrak{R}_{\text{♂}}}{D''_{\text{♂}\ \max}}\right) = 0.51\,\text{а.е.}

Схема: Солнце S вверху, штриховые дуги орбит Земли и Марса; Земля E на орбите под Солнцем (отрезок SE = a⊕); Марс в восточной квадратуре Kв и западной квадратуре Kз на горизонтальной линии через E, в противостоянии П ниже E (расстояние Δп); отмечены угол α при S между SE и SKз, отрезок a♂ = SKз, угол φ при Kз и расстояние Δк = EKз. — Рис. 10: к определению квадратур и искомых величин.

Следовательно, радиус орбиты Красной планеты, а также $\Delta_{\text{к}}$ и угол $\alpha$ соответственно равны

a_{\text{♂}} = a_{\oplus} + \Delta_{\text{п}} = 1.51\,\text{а.е.}, \ \Delta_{\text{к}} = 1.13\,\text{а.е.}, \quad \alpha = 48.5^{\circ}, \qquad (17)

Тогда можно определить угловой диаметр ( $D''_{\text{♂}}$ ) планеты в квадратуре:

D''_{\text{♂}} = 206265''\left(\frac{2\,\mathfrak{R}_{\text{♂}}}{\Delta_{\text{к}}}\right) = D''_{\text{♂}\ \max}\left(\frac{\Delta_{\text{п}}}{\Delta_{\text{к}}}\right) = 8.3'', \qquad (18)

а также видимую звездную величину (с использованием формулы Погсона, закона обратных квадратов для освещенности ( $E$ ), фазы планеты – $\Phi = (1 + \cos\varphi)/2$ и видимой звездной величины в противостоянии – $m_V^{\text{п}} = -2.1^{\mathrm{m}}$ ):

m_V - m_V^{\text{п}} = -2.5\,\lg\left(\frac{E_{\text{к}}}{E_{\text{п}}}\right) = 2.5\ \lg\left[\frac{1}{\Phi}\left(\frac{\Delta_{\text{к}}}{\Delta_{\text{п}}}\right)^2\right] = 5\ \lg\left[\frac{1}{\sqrt{(1 + \cos\varphi)/2}}\left(\frac{\Delta_{\text{к}}}{\Delta_{\text{п}}}\right)\right],

m_V = m_V^{\text{п}} + 5\ \lg\left(\frac{1}{\sqrt{(1 + \sin\alpha)/2}}\frac{\Delta_{\text{к}}}{\Delta_{\text{п}}}\right) \approx -0.2^{\mathrm{m}}, \ \text{где} \ \varphi = 90^{\circ} - \alpha. \qquad (19)

Полученные значения указывают, что западной квадратуре Марса соответствует образ февраля 2016 года, а восточной квадратуре – образ сентября или октября 2016 года[^3]. Оценим даты данных событий. Для этого воспользуемся уравнением синодического движения для верхней планеты:

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_{\oplus}} - \frac{1}{T_{\text{♂}}}, \ \Rightarrow \ S = \frac{T_{\oplus}\,T_{\text{♂}}}{T_{\oplus} - T_{\text{♂}}},

здесь $T_{\oplus}, T_{\text{♂}}$ – сидерические периоды обращения Земли и Марса вокруг Солнца. Для определения $T_{\text{♂}}$ воспользуемся третьим законом Кеплера:

\left(\frac{T_{\text{♂}}}{T_{\oplus}}\right)^2 = \left(\frac{a_{\text{♂}}}{a_{\oplus}}\right)^3, \ \Rightarrow \ T_{\text{♂}} = T_{\oplus}\left(\frac{a_{\text{♂}}}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 1.856\,\text{лет}.

В результате $S = 2.17$ года. Время, отделяющее фазы противостояния и квадратуры, есть

\tau = S\left(\frac{\alpha}{360^{\circ}}\right) \approx 107\,\text{сут}.

В итоге приблизительная дата западной квадратуры Марса – 5.02.2016 года, а восточной квадратуры – 6.09.2016 года.

Ответ: приблизительная дата западной квадратуры Марса – 5.02.2016 года, восточной квадратуры – 6.09.2016 года; $m_V \approx -0.2^{\mathrm{m}}$ , $D''_{\text{♂}} = 8.3''$ . (6 баллов).

[^3]: Отметим, что некоторое несоответствие полученного значения звездной величины и действительной объясняется эллиптичностью орбит планет и конечным наклонением орбиты Марса к плоскости эклиптики, что приводит к несколько иному значению $\Delta_{\text{к}}$ и угла $\alpha$ .

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf