Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 8. Частота двойных транзитов Меркурия и Венеры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 7 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. Как часто происходили бы транзиты одновременно Меркурия и Венеры (двойной транзит) по диску Солнца, если бы их плоскости орбит совпадали с плоскостью орбиты Земли, а сами орбиты были круговыми? Какова максимальная продолжительность двойного транзита? Сидерические периоды обращения Меркурия, Венеры и Земли принять равными $T_{\text{☿}} = 87.9691$ сут, $T_{\text{♀}} = 224.6980$ сут, $T_{\oplus} = 365.2564$ сут соответственно, радиус земной орбиты – $a_{\oplus} = 1.000$ а.е. (7 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $T_{\text{☿}} = 87.9691$ сут, $T_{\text{♀}} = 224.6980$ сут, $T_{\oplus} = 365.2564$ сут, $a_{\oplus} = 1.000$ а.е.

Найти: $S_{\mathrm{tr}}$ , $\tau_{\max}$ – ?

Решение: если плоскости орбит Меркурия и Венеры совпадали бы с плоскостью орбиты Земли, а сами орбиты были круговыми, то транзиты данных планет по диску Солнца были бы центральными, т.е трек видимого движения планеты проходил бы через центр видимого диска Солнца. Определим продолжительность ( $\tau_{\mathrm{p}}$ ) такого транзита для нижней планеты $P$ (см. рис. 11).

Схема: слева желтый диск Солнца с центром S и радиусом ℜ⊙ (точка касания C с прямым углом); штриховая дуга орбиты нижней планеты радиусом ap с точками B, P, A; касательные лучи из точки Земли E справа к краям Солнца пересекают орбиту в A и B; отмечены угол α при S и угловой диаметр Солнца D″⊙ при E. — Рис. 11: к определению времени транзита нижней планеты.

\tau_{\mathrm{p}} = \frac{\breve{AB}}{\omega_{\mathrm{rel}}} = \frac{\alpha}{\omega_{\mathrm{rel}}},

здесь $a_p$ – радиус орбиты планеты, $\alpha$ – угол раствора дуги $\breve{AB}$ орбиты нижней планеты, пребывая в пределах которой, с Земли наблюдается транзит данной планеты; $\omega_{\mathrm{rel}}$ – угловая скорость относительного движения нижней планеты. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACS$ , для него имеем

\sin\angle CAS = \sin\left(\frac{\alpha + D''_{\odot}}{2}\right) = \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_p}, \ \Rightarrow \ \alpha = 2\arcsin\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_p}\right) - D''_{\odot}, \qquad (20)

здесь $\mathfrak{R}_{\odot} = 695500$ км $= 4.649\cdot 10^{-3}$ а.е. – радиус Солнца; $D''_{\odot} = 32'$ – его угловой диаметр. Относительная угловая скорость запишется в виде:

\omega_{\mathrm{rel}} = \omega_{\mathrm{p}} - \omega_{\oplus} = 2\pi\left(\frac{T_{\oplus} - T_{\mathrm{p}}}{T_{\oplus}\,T_{\mathrm{p}}}\right) = \frac{2\pi}{S_p},

здесь $T_p$ , $S_p$ – сидерический и синодический период видимого движения нижней планеты. В результате продолжительность центрального транзита есть

\tau_{\mathrm{p}} = \frac{S_p}{2\,\pi}\left[2\arcsin\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_p}\right) - D''_{\odot}\right]. \qquad (21)

Учитывая далее, что

S_{\text{☿}} = \frac{T_{\oplus}\,T_{\text{☿}}}{T_{\oplus} - T_{\text{☿}}} = 115.877\,\text{сут}, \ S_{\text{♀}} = \frac{T_{\oplus}\,T_{\text{♀}}}{T_{\oplus} - T_{\text{♀}}} = 583.902\,\text{сут},

а большие полуоси планет определяются третьим законом Кеплера

a_{\text{☿}} = a_{\oplus}\left(\frac{T_{\text{☿}}}{T_{\oplus}}\right)^{2/3} = 0.387\,\text{а.е.}, \quad a_{\text{♀}} = a_{\oplus}\left(\frac{T_{\text{♀}}}{T_{\oplus}}\right)^{2/3} = 0.723\,\text{а.е.}

в результате получаем продолжительности центральных транзитов Меркурия и Венеры:

\tau_{\text{☿}} = 0.271\,\text{сут} = 6\,\text{час}\,31\,\text{мин}, \quad \tau_{\text{♀}} = 0.330\,\text{сут} = 7\,\text{час}\,55\,\text{мин}. \qquad (22)

Очевидно, что максимальная продолжительность транзита, не может быть более $\tau_{\text{☿}}$ , следовательно $\tau_{\max} = \tau_{\text{☿}} = 6\,\text{час}\,31\,\text{мин}$ (что соответствует ситуации, когда обе планеты одновременно "заходят" на диск Солнца).

Далее определим синодический период ( $S_{\mathrm{tr}}$ ) данного явления. Для этого заметим, что все планеты движутся относительно Солнца в прямом направлении и во время транзита Меркурий, Венера и Земля должны оказаться на одной прямой. Поскольку при движении по круговой орбите их угол оборота ( $\varphi$ ) меняется пропорционально прошедшему времени, то можно составить следующие два уравнения, отвечающие промежутку $S_{\mathrm{tr}}$ :

\varphi_{\text{☿}} - \varphi_{\oplus} = 2\pi\,\ell, \ \Rightarrow \ S_{\mathrm{tr}}\left(\frac{2\pi}{T_{\text{☿}}} - \frac{2\pi}{T_{\oplus}}\right) = 2\pi\,\ell, \ \Rightarrow \ S_{\mathrm{tr}} = \ell\,S_{\text{☿}}, \qquad (23)

\varphi_{\text{♀}} - \varphi_{\oplus} = 2\pi\,m, \ \Rightarrow \ S_{\mathrm{tr}}\left(\frac{2\pi}{T_{\text{♀}}} - \frac{2\pi}{T_{\oplus}}\right) = 2\pi\,m, \ \Rightarrow \ S_{\mathrm{tr}} = m\,S_{\text{♀}}, \ \Rightarrow \qquad (24)

\frac{S_{\text{♀}}}{S_{\text{☿}}} = \frac{\ell}{m}. \qquad (25)

где $\ell, m$ – натуральные числа, подлежащие определению. По сути, необходимо найти наименьшее общее кратное синодических периодов. При этом важно понимать до какого знака после запятой следует округлять величины $S_{\text{♀}}, S_{\text{☿}}$ . Учитывая, что максимальная продолжительность двойного транзита порядка часа, следует удерживать знаки в данных величинах с точностью до минуты, что соответствует 0.001 сут, следовательно $S_{\text{♀}}/S_{\text{☿}} = 5.040$ необходимо представить отношением целых чисел. Очевидно, что

S_{\text{♀}}/S_{\text{☿}} = 5.040 = \frac{126}{25}, \ \Rightarrow \ S_{\mathrm{tr}} = 25\,S_{\text{♀}} = 39.967\,\text{лет}.

При вычислении последнего мы использовали среднюю продолжительность календарного (григорианского) года ( $\bar{Y}_G = 365.2425$ сут). Т.о. 1 раз в 39.967 лет наблюдался бы двойной транзит нижних планет в указанных условиях.

Ответ: $\tau_{\max} = 6\,\text{час}\,31\,\text{мин}$ ; 1 раз в 39.967 лет наблюдался бы двойной транзит нижних планет в указанных условиях. (7 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf