Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 13. Центральные меридианы часовых поясов на Юпитере

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 11 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Условие

Условие. Если для гипотетического обитателя юпитерианской атмосферы ввести поясное время (аналогичное земному), то какое расстояние между двумя соседними центральными меридианами соседних часовых поясов будет на экваторе Юпитера? На широте 45 градусов? Экваториальный радиус и коэффициент сжатия Юпитера у полюсов принять равными $\mathfrak{R}_J^{(e)} = 71492$ км и $k = 0.065$ соответственно. (11 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\varphi_1 = 0^{\circ}$ , $\varphi_2 = 45^{\circ}$ , $\mathfrak{R}_J = 71492$ км, $k = 0.065$ .

Найти: $\Delta_1$ , $\Delta_2$ – ?

Решение: Вспомним, что поверхность Земли условно делят на 24 часовых пояса, приблизительно в центре каждого расположен центральный меридиан. Т.о. угловое расстояние между соседними меридианами составляет $15^{\circ}$ . Необходимо определить дугу юпитерианского экватора, соответствующую указанному углу. Поскольку $2\pi\,\mathfrak{R}_J$ км соответствует углу в $360^{\circ}$ , то $\Delta_1$ км соответствует $15^{\circ}$ ,

т.е. имеет место следующая пропорция:

\left\{\begin{array}{ll} \Delta_1\,\text{км} & \to 15^{\circ}, \\ 2\pi\,\mathfrak{R}_J\,\text{км} & \to 360^{\circ}, \end{array}\right\} \to \Delta_1 = \frac{2\pi\,\mathfrak{R}_J}{24} = 18717\,\text{км}.

Розовый эллипс (сечение Юпитера) с центром в начале координат: горизонтальная ось X, вертикальная ось Y; полюса O2 (сверху) и O1 (снизу), точка экватора Q справа; полярный радиус ℜp и экваториальный радиус ℜe показаны размерными стрелками; из центра к точке A на эллипсе проведен радиус-вектор r под углом φ к оси X. — Рис. 13: к определению масштабов эллипса Юпитера.

Для определения расстояния между меридианами на широте $\varphi_2$ необходимо учесть, что форма тела Юпитера – эллипсоид вращения, сплюснутый у полюсов. Если тело планеты мысленно рассечь плоскостью, содержащей его ось вращения, то в сечении тело Юпитера будет представляться эллипсом (см. рис. 13), каноническое уравнение которого есть

\frac{x^2}{{\mathfrak{R}_J^{(e)}}^2} + \frac{y^2}{{\mathfrak{R}_J^{(p)}}^2} = 1. \qquad (11)

здесь $\mathfrak{R}_J^{(e)}, \mathfrak{R}_J^{(p)}$ – экваториальный и полярный радиусы Юпитера. Можно легко убедиться (прямой подстановкой в (11)) в том, что координаты $x, y$ с одной стороны можно представить как

x = \mathfrak{R}_J^{(e)} \cos\alpha, \ \ y = \mathfrak{R}_J^{(p)} \sin\alpha,

где $\alpha$ – некоторый вспомогательный параметр. С другой стороны их можно представить в терминах полярных координат:

x = r\,\cos\varphi, \ \ y = r\,\sin\varphi, \ \Rightarrow \ \mathrm{tg}\,\varphi = \frac{\mathfrak{R}_J^{(p)}}{\mathfrak{R}_J^{(e)}}\,\mathrm{tg}\,\alpha. \qquad (12)

Учитывая, что коэффициент сжатия равен

k = \frac{\mathfrak{R}_J^{(e)} - \mathfrak{R}_J^{(p)}}{\mathfrak{R}_J^{(e)}} = 1 - \frac{\mathfrak{R}_J^{(p)}}{\mathfrak{R}_J^{(e)}}, \ \Rightarrow \ \frac{\mathfrak{R}_J^{(p)}}{\mathfrak{R}_J^{(e)}} = 1 - k. \qquad (13)

Из (12) и (13) следует, что

\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{1}{1 - k}\,\mathrm{tg}\,\varphi, \ \Rightarrow \ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2\,\alpha}} = \frac{1 - k}{\sqrt{(1 - k)^2 + \mathrm{tg}^2\,\varphi}}.

Радиус круга широты на широте $\varphi_2$ равен $r_2 = x = \mathfrak{R}_J^{(e)} \cos[\alpha(\varphi_2)]$ или

r_2 = \frac{\mathfrak{R}_J^{(e)}(1 - k)}{\sqrt{(1 - k)^2 + 1}} = 48827\,\text{км}.

Далее, рассуждая по аналогии с случаем расстояния $\Delta_1$ на экваторе, получаем

\Delta_2 = \frac{2\pi\,r_2}{24} = 12783\,\text{км}.

Ответ: $\Delta_1 = 18717$ км, $\Delta_2 = 12783$ км. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 11$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf