Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. Проект ракеты на шариках

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 12 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Условие

Условие. Предложен проект космической ракеты, которая приводится в движение в открытом космосе за счет выброса одинаковых твердых шариков со скоростью $v$ относительно ракеты, масса которых в $\eta$ раз меньше начальной массы ракеты. Определите скорость ракеты $u$ после выброса $n$ -го шарика. Следует полагать, что начальная скорость ракеты равна нулю. Ответ, по возможности, следует представить в максимально компактном виде. (12 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $v$ , $\eta$ .

Найти: $u_n$ – ?

Решение: Рассмотрим процесс выброса первого шарика из ракеты. Система «шарик-ракета» является замкнутой, следовательно, для нее выполняется закон сохранения импульса в инерциальной системе отсчета, в которой в начальный момент ракета покоилась:

0 = (M - m)\,u_1 - m\,(v - u_1), \ \Rightarrow \ u_1 = \frac{m\,v}{M} = \frac{v}{\eta}, \ \text{где } \ \eta = \frac{M}{m},

здесь $m$ , $M$ – масса шарика и начальная масса ракеты соответственно, $u_1$ – скорость ракеты после выброса первого шарика. Для выброса второго шарика, рассуждаем по аналогии:

(M - m)u_1 = (M - 2m)u_2 - m(v - u_2), \ \Rightarrow \ (\eta - 1)u_2 = u_1(\eta - 1) + v, \ \Rightarrow

u_2 = v\left(\frac{1}{\eta} + \frac{1}{\eta - 1}\right).

Для выброса третьего шарика имеем уравнение вида:

(M - 2m)u_2 = (M - 3m)u_3 - m(v - u_3), \ \Rightarrow (\eta - 2)u_2 = (\eta - 2)u_3 - v, \ \Rightarrow

u_3 = v\left(\frac{1}{\eta} + \frac{1}{\eta - 1} + \frac{1}{\eta - 2}\right).

Далее воспользуемся методом математической индукции: сформулируем гипотезу – исходя из явных выражений для $u_1, u_2, u_3$ предположим, что для скорости ракеты после выброса $n - 1$ шарика выполняется выражение вида:

u_{n-1} = v\left(\frac{1}{\eta} + \frac{1}{\eta - 1} + \frac{1}{\eta - 2} + \frac{1}{\eta - 3} + \ldots + \frac{1}{\eta - (n - 2)}\right),

тогда после выброса $n$ -го шарика, скорость ракет должна быть равна

u_n = v\left(\frac{1}{\eta} + \frac{1}{\eta - 1} + \frac{1}{\eta - 2} + \frac{1}{\eta - 3} + \ldots + \frac{1}{\eta - (n - 2)} + \frac{1}{\eta - (n - 1)}\right).

Докажем справедливость гипотезы. Запишем закон сохранения импульса для процесса выброса $n$ -го шарика:

(M - (n - 1)m)u_{n-1} = (M - n\,m)u_n - m(v - u_n), \ \Rightarrow

(\eta - (n - 1))u_{n-1} = (\eta - (n - 1))u_n - v, \ \Rightarrow

u_n = u_{n-1} + \frac{v}{(\eta - (n - 1))} =

= v\left(\frac{1}{\eta} + \frac{1}{\eta - 1} + \frac{1}{\eta - 2} + \frac{1}{\eta - 3} + \ldots + \frac{1}{\eta - (n - 2)} + \frac{1}{\eta - (n - 1)}\right),

что и требовалось доказать. Скорость ракеты $u_n$ можно представить в компактном виде:

u_n = v\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\eta - (i - 1)}. \qquad (14)

К сожалению, данный результат упростить еще каким-либо способом невозможно.

Ответ: представляется выражением (14). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf