Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Planet Nine и ее орбитальные характеристики

• а) $q = 200$ а.е., $Q = 1350$ а.е.; б) $a = 775$ а.е., $\varepsilon = 0.742$; в) $T = 21575$ лет; г) закон Тициуса-Боде для Planet Nine не работает; д) об орбитальном резонансе нет смысла говорить.

  В решении пункты помечены а)–д), в условии — a), б), в), д), е).

a) на печатной копии рис. 7 определяем линейный масштаб фотографии: для этого определяем длину эталонного отрезка в $L = 100$ а.е. в мм – $\ell = 10$ мм (Ваши значения могут отличаться от указанных в решении задачи, поскольку картинки могут быть распечатаны с разными масштабами). Тогда линейный масштаб есть

Далее измерим по рис. 7 расстояния от ближайшей точки орбиты (перигелия) до Солнца – $\ell_q = 20$ мм и от Солнца до самой далекой точки ее орбиты (афелия) – $\ell_Q = 135$ мм. Следовательно, расстояния до перигелия и афелия орбиты Planet Nine есть

б) далее вспомним, что расстояния $q, Q$ можно представить через большую полуось орбиты и ее эксцентриситет:

в) вычислим сидерический период обращения планеты вокруг Солнца с использованием третьего закона Кеплера:

г) как известно, закон Тициуса-Боде определяет (приближенно) среднее гелиоцентрическое расстояние планеты от Солнца (большую полуось ее орбиты) и представляется в виде:

где $n$ – планетный индекс, равный для Меркурия – $-\infty$, для Венеры – 0, для Земли – 1, для Марса – 2, для астероидов главного пояса – 3, для Юпитера – 4, для Сатурна – 5, для Урана – 6, для Плутона – 7; для Эриды – 8; для Нептуна данный закон не работает.

Проверим значения $r_n$ для бо́льших значений параметра $n$:

Из приведенных результатов следует, что большая полуось не соответствует (даже очень грубо) ни одному из значений планетных расстояний, предсказываемых законом Тициуса-Боде. Т.о. для Planet Nine, как и для Нептуна, данный закон не работает.

д) как известно, орбитальный резонанс в небесной механике – это ситуация, при которой периоды обращения двух (или более) небесных тел соотносятся как небольшие натуральные числа. Поскольку период обращения Planet Nine превосходит более чем в 131 раз период обращения самой "медленной" классической планеты – Нептуна, то о каких-либо резонансах нет смысла вести речь, ибо натуральные числа, которые их определяют являются очень большими, что противоречит смыслу самого понятия.

Ответ: а) $q = 200$ а.е., $Q = 1350$ а.е.; б) $a = 775$ а.е., $\varepsilon = 0.742$; в) $T = 21575$ лет; г) закон Тициуса-Боде для Planet Nine не работает; д) поскольку сидерический период обращения Planet Nine вокруг Солнца много больше значений периодов обращения всех известных классических планет, то об орбитальном резонансе нет смысла говорить. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).