Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №10. «Третий обобщенный закон Кеплера для двух пар тел»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019. Заочная олимпиада по астрономии. Тур №2. 8–9 классы. · 8 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены буквальные различия двух оригиналов: в повторном условии №8 ограничение касается собственного движения Солнца перпендикулярно лунному; в №10 ссылка на закон (11); в №16 ширина щели h вместо исходных χ/f; в №17 ссылка на таблицу3 рядом с таблицей1 и pmax вместо исходного ρ в интервале напряжения. В ключе оставлены: два |r21| подряд; знак Венеры V♀ в формуле43; 86год до н.э. в выводе и66год в ответе №13; «в начале июня» для афелия; Rp назван радиусом звезды, Rp=rp/x и as≈Rs; единица кг у большой полуоси Земли; (18.02/PСЗ)·41≈210лет; a⊙ в формуле52; подпись рис.20 о конусе горы. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

SAMRAS-2019. Тур №2. 8–9 классы

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР №2 Самаpа, 2019 г.

Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур №2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено на стр.13–20 условий и повторено на стр.42–49 решений.

Условие

С использованием второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения, докажите, что для двух пар гравитирующих тел с массами $(\mathfrak M_1,\mathfrak M_2)$ и $(\mathfrak M_3,\mathfrak M_4)$ , движущихся вокруг их центров масс, по круговым орбитам, с периодами $T_1$ и $T_2$ , и удаленных друг от друга на расстояния $a_1$ и $a_2$ соответственно, справедлив третий обобщенный закон Кеплера в виде:

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}.\qquad (1)

Предположим, что второй парой тел является система «Солнце-Земля» с периодом $T_\oplus=1$ год, и большой полуосью относительного движения $a_\oplus=1$ а.е., а первой парой тел является двойная звезда. Полагая, что массы звезд выражаются в массах Солнца, период обращения в годах, а расстояние $a_1$ – в а.е., докажите, что закон (1) можно записать в виде:

\widetilde{\mathfrak M}_1+\widetilde{\mathfrak M}_2=\frac{\widetilde a^3}{\widetilde T^2},\qquad (2)

здесь знаком «∼» отмечены безразмерные величины, соответствующие размерным, в указанных выше единицах. (8 баллов).

Решение

Задача №10. «Третий обобщенный закон Кеплера для двух пар тел»

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}.\qquad (1)

\widetilde{\mathfrak M}_1+\widetilde{\mathfrak M}_2=\frac{\widetilde a^3}{\widetilde T^2},\qquad (2)

Задача №10. «Третий обобщенный закон Кеплера для двух пар тел»

Решение.

Рассмотрим движение двух тел с массами $\mathfrak{M}_{1}$ и $\mathfrak{M}_{2}$ (причем $\mathfrak{M}_{2} < \mathfrak{M}_{1}$ ) вокруг их общего центра масс (см. рис. 11). Запишем второй закон Ньютона для каждого компонента:

M_1\vec W_1=-G\frac{M_1M_2}{r_{21}^3}\vec r_{21},\quad M_2\vec W_2=-G\frac{M_1M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12},

здесь $\vec{W}_{1}$ , $\vec{W}_{2}$ – ускорения данных тел; $\vec r_{21}=-\vec r_{12}$ – векторы, соединяющие данные тела, направление которых задается порядком цифр в индексе, см. рис. 11. Выразим ускорение $\vec{W}_{1}$ и $\vec{W}_{2}$

\vec W_1=-G\frac{M_2}{r_{21}^3}\vec r_{21},\quad\vec W_2=-G\frac{M_1}{r_{12}^3}\vec r_{12}\qquad (25)

здесь $|\vec r_{21}|=|\vec r_{21}|=a_1+a_2=a$ ; $a_1,a_2$ – радиусы круговых орбит компонентов. Найдем относительное ускорение второго компонента относительно первого:

\vec W_{rel}=\vec W_2-\vec W_1=-\frac{G(M_1+M_2)\vec r_{12}}{r_{12}^3}\qquad (26)

С другой стороны, орбита относительного движения второго компонента, относительно первого, будет окружность, поскольку расстояние между компонентами не изменяется в процессе движения. Следовательно, $\vec{W}_{rel}$ есть центростремительное ускорение, представляемое в виде:

Вся исходная схема двух круговых орбит, масс, радиусов и противоположных векторов — Рис. 11: к определению кинематических параметров орбит данных тел.

\vec W_{rel}=-\omega^2\vec r_{12}\qquad (27)

здесь $\omega$ – угловая скорость орбитального движения компонентов. Приравнивая правые части (26) и (27), в результате получаем

G\frac{M_1+M_2}{r_{12}^3}=\omega^2,\quad\Rightarrow G(M_1+M_2)T^2=4\pi^2a^3

или

(M_1+M_2)T^2=\frac{4\pi^2}G a^3\qquad (28)

Уравнение (28) – третий обобщенный закон Кеплера для пары гравитирующих тел. Если такое же уравнение записать для другой пары тел с массами $\mathfrak M_3$ и $\mathfrak M_4$ в виде:

(M_3+M_4)T^2=\frac{4\pi^2}G a_2^3\qquad (29)

и разделить (28) на (29), проиндексировав цифрой «1» параметры первой пары, то получим

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3},\qquad (30)

что идентично (1). Далее предположим что вторая пара тел есть система «Солнце-Земля», тогда $\mathfrak{M}_{3} = \mathfrak{M}_{\odot}, \mathfrak{M}_{4} = \mathfrak{M}_{\oplus}$ , $T_{2} = T_{\oplus}=$ 1 год, $a_{2} = a_{\oplus}= 1$ a.e. Следовательно (30) можно переписать в виде:

\frac{(M_1+M_2)T_1^2}{(M_\odot+M_\oplus)T_\oplus^2}=\frac{a_1^3}{a_\oplus^3}\qquad (31)

Далее учтем, что масса Земли много меньше массы Солнца, следовательно слагаемым $\mathfrak{M}_{\oplus}$ в знаменателе (31) можно пренебречь. Выразим массы компонент первой пары гравитирующих тел через массу Солнца.

M_1=\widetilde M_1\cdot M_\odot,\quad M_2=\widetilde M_2\cdot M_\odot\qquad (32)

а период и большую полуось в терминах земных аналогов:

T_1=\widetilde T\cdot T_\oplus,\quad a_1=\widetilde a\cdot a_\oplus\qquad (33)

Следовательно (31) можно переписать так

\frac{(\widetilde M_1+\widetilde M_2)M_\odot T_\oplus^2\cdot\widetilde T^2}{M_\odot\cdot T_\oplus^2}=\frac{(\widetilde a\cdot a_\oplus)^3}{a_\oplus^3},\quad\Rightarrow(\widetilde M_1+\widetilde M_2)=\frac{\widetilde a^3}{\widetilde T^2},

что и требовалось доказать. (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf