Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №11. «Транзит небесного тела»

Задача №11. «Транзит небесного тела»

Решение.

Из рис. 3 видно, что тело, испытывающее транзит по диску Солнца, имеет шарообразную форму. Следовательно, это массивное тело которое может быть ближе к Солнцу, нежели Земля. Очевидно, что это должна быть одна из двух внутренних классических планет: Меркурий или Венера. Чтобы понять какая именно планета испытала транзит, необходимо определить угловой диаметр планеты по фотографии и затем сопоставить с интервалами допустимых значений (ИДЗ) для углового диаметра каждой из планет, определенных теоретически.

Прежде всего, определим угловой масштаб фотографии ( $\mu _{a}$ ) следующим выражением:

где $\rho ^{''}_{\odot}= 16.0^{'}$ – средний угловой радиус Солнца, $R_{\odot}$ – линейный радиус Солнца, измеренный по фотографии. К сожалению, измерить непосредственно радиус видимого диска Солнца по фотографии не представляется возможным. Поэтому будем для этого использовать несложную методику косвенного определения $R_{\odot}$ . Рассмотрим круг радиуса $R$ и круговой сегмент $ACBDA$ , с высотой $h$ и основанием $AB = 2a$ (см. рис. 12). Из треугольника $△ADO$ по теореме Пифагора следует, что

Т.о., для определения радиуса круга необходимо знать высоту $h$ кругового сегмента и половину его основания – $a$ . Выполним дополнительное построение на данной фотографии (см. рис. 13). Проведем через две наиболее взаимно удаленные точки $A$ и $B$ видимого диска Солнца прямую $AB$ . Из центра $C$ отрезка $AB$ восстановим перпендикуляр $CD$ к границе части видимого диска светила. Определим значения $h = CD = 15$ мм и $a = AC = 90$ мм (здесь и далее Ваши значения геометрических параметров могут отличаться от указанных, при использовании фотографии в ином масштабе). По этим данным, с помощью (35) вычисляем радиус диска Солнца $R_{\odot}= 277.5$ мм. С использованием (34) вычисляем угловой масштаб фотографии $\mu _{a} = 3.46^{''}$ /мм.

Далее измеряем диаметр диска планеты – $d = 3.5$ мм, что отвечает угловому диаметру планеты – $D_{p}^{''} = \mu _{a} d = 12.1^{''}$ . Далее рассчитаем интервалы возможных значений углового диаметра ( $D_{p}^{''}$ ) нижней планеты. Очевидно, искомая величина будет минимальной в случае, когда планета в нижнем соединении находится в своем перигелии, а Земля – в своем афелии, тогда

здесь $\mathfrak{R}_{p}$ – средний радиус планеты; $a_{\oplus}= 1$ а.е. – большая полуось орбиты Земли, $\varepsilon _{\oplus}= 0.0167$ – ее эксцентриситет; $a_{p}, \varepsilon _{p}$ – соответствующие параметры орбиты планеты. Угловой диаметр планеты будет достигать максимального значения в нижнем соединении в случае, когда планета находится в своем афелии, а Земля – в своем перигелии:

Для Меркурия имеем $\mathfrak R_{\text{☿}} = 2439.7$ км, $a_{\text{☿}} = 0.387$ а.е., $\varepsilon_{\text{☿}} = 0.206$ ; для Венеры – $\mathfrak R_{\text{♀}}= 6051.8$ км, $a_{\text{♀}}= 0.723$ а.е., $\varepsilon_{\text{♀}}= 0.0068$ . В итоге для планет

Из сопоставления результатов следует, что на фотографии представлен транзит Меркурия. Ответ:

транзит Меркурия. (9 баллов).