Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №12. «Расстояния до небесного тела и время транзита»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019. Заочная олимпиада по астрономии. Тур №2. 8–9 классы. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены буквальные различия двух оригиналов: в повторном условии №8 ограничение касается собственного движения Солнца перпендикулярно лунному; в №10 ссылка на закон (11); в №16 ширина щели h вместо исходных χ/f; в №17 ссылка на таблицу3 рядом с таблицей1 и pmax вместо исходного ρ в интервале напряжения. В ключе оставлены: два |r21| подряд; знак Венеры V♀ в формуле43; 86год до н.э. в выводе и66год в ответе №13; «в начале июня» для афелия; Rp назван радиусом звезды, Rp=rp/x и as≈Rs; единица кг у большой полуоси Земли; (18.02/PСЗ)·41≈210лет; a⊙ в формуле52; подпись рис.20 о конусе горы. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

SAMRAS-2019. Тур №2. 8–9 классы

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР №2 Самаpа, 2019 г.

Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур №2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено на стр.13–20 условий и повторено на стр.42–49 решений.

Условие

С использованием рис. 3, оцените:

Вся фотография транзита: темное тело, солнечный край, корона и полный исходный кадр — Рис. 3: фотография транзита небесного тела по диску Солнца.

а Геоцентрическое и гелиоцентрическое расстояния до данного небесного тела;

б Время транзита небесного тела по диску Солнца (см. рис. 3), если известно, что данное тело двигалось параллельно нижней горизонтальной границе рисунка, слева направо. (10 баллов).

Решение

Задача №12. «Расстояния до небесного тела и время транзита»

а) Оценим геоцентрическое расстояние до планеты. Согласно решению предыдущей задачи, угловой диаметр планеты составляет $D_{\text{☿}}''=12.1''$ . Следовательно, искомое расстояние составляет

\Delta_{\text{☿}}=\frac{2R_{\text{☿}}\times206265''}{D_{\text{☿}}''}=8.32\cdot10^7\text{ км}=0.556\text{ а.е.}\qquad (40)

здесь $\mathfrak R_{\text{☿}} = 2439.7$ км – радиус Меркурия. Следовательно, гелиоцентрическое расстояние до планеты будет заключено в интервале:

a_\oplus(1-\varepsilon_\oplus)-\Delta_{\text{☿}}\le r_{\text{☿}}\le a_\oplus(1+\varepsilon_\oplus)-\Delta_{\text{☿}},\quad\Rightarrow0.427\text{ а.е.}\le r_{\text{☿}}\le0.460\text{ а.е.}\qquad (41)

здесь $a_{\oplus}= 1$ а.е. – большая полуось орбиты Земли, $\varepsilon _{\oplus}= 0.0167$ – ее эксцентриситет. Очевидно, что в момент транзита Меркурий находился в окрестности своего афелия. б) Оценим полное время $\tau _{0}$ транзита Меркурия вдоль хорды $BB_2$ (см. рис. 14). Если будет известна величина хорды $BB_2$ (в угловых единицах), и скорость относительного движения ( $V_{rel}$ ) Меркурия, то можно легко вычислить время транзита планеты по диску Солнца:

Полная исходная схема транзитной хорды Меркурия с окружностью, всеми точками, дугами и размерами — Рис. 14: к определению величины хорды транзита Меркурия.

\tau_0=\frac{\breve{BB_2}}{V_{rel}}\Delta_{\text{☿}}=\frac{2\breve\ell}{V_{rel}}\Delta_{\text{☿}}\qquad (42)

Скорость относительного движения Меркурия во время транзита можно оценить как

V_{rel}=V_{\text{♀}}-V_\oplus=\sqrt{\frac{GM_\odot}{a_{\text{☿}}}\frac{1-\varepsilon_{\text{☿}}}{1+\varepsilon_{\text{☿}}}}-\sqrt{\frac{GM_\odot}{a_\oplus}}=9.06\text{ км/c}\qquad (43)

где $a_{\text{☿}} = 0.387$ а.е., $\varepsilon_{\text{☿}} = 0.206$ – большая полуось и эксцентриситет Меркурия. Далее определим величину хорды $BB_{2} = 2\ell$ . Из $△OAO_{1} △OB_{2}O_{2}$ следует:

OA^2=OO_1^2+AO_1^2,\quad\Rightarrow R_\odot^2=(\ell+y)^2+z^2\qquad (44)

OB_2^2=OO_2^2+O_2B_2^2,\quad\Rightarrow R_\odot^2=\ell^2+(x+z)^2\qquad (45)

Очевидно, величины $x$ , $y$ можно непосредственно измерить по рис. 13, а величина $R_{\odot}$ была определена в предыдущей задаче. Выразим из уравнения (44) переменную $z$ и подставим в (45):

\begin{aligned}R_\odot^2&=\ell^2+x^2+2x\sqrt{R_\odot^2-(\ell+y)^2}+R_\odot^2-(\ell+y)^2,\quad\Rightarrow\\y^2-x^2+2y\ell&=2x\sqrt{R_\odot^2-(\ell+y)^2},\\y^4+x^4+4y^2\ell^2+4y^3\ell-4x^2y\ell-2x^2y^2&=4x^2R_\odot^2-4x^2\ell^2-8x^2y\ell-4x^2y^2,\\4s^2\ell^2+4ys^2\ell+s^4-4x^2R_\odot^2&=0,\quad\text{где }s^2=x^2+y^2,\\D&=16y^2s^4+64x^2s^2R_\odot^2-16s^6=16s^2(s^2y^2+4x^2R_\odot^2-s^4).\end{aligned}

\ell_1=-\frac12\left(y-\frac1s\sqrt{s^2y^2+4x^2R_\odot^2-s^4}\right)\qquad (46)

\ell_2=-\frac12\left(y+\frac1s\sqrt{s^2y^2+4x^2R_\odot^2-s^4}\right)<0.

Очевидно, последний корень не удовлетворяет условию задачи. Проводя измерения параметров $x$ и $y$ по рис. 13 ( $x = 41$ мм, $y = 64.5$ мм), получаем значение $\ell = 115.2$ мм. Тогда дуга $\breve{BB_2}=2\breve\ell=2\ell\mu_a=797''=13.286'=3.864\cdot10^{-3}$ рад. В итоге, согласно (42) получаем $\tau _{0} = 9.86$ часа. Ответ:

к задаче представляется выражениями (40), (41), (42); $\tau _{0} =$ $9.86$ часа. (10 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf