Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №8. «Продолжительность солнечного затмения»

Задача №8. «Продолжительность солнечного затмения»

С использованием серии фотографий солнечного затмения, представленных на рис. 2, оцените его полную продолжительность. Собственным движением Солнца в течение затмения в направлении, перпендикулярном лунному, следует пренебречь. (7 баллов).

Задача №8. «Продолжительность солнечного затмения»

Решение.

Определим в миллиметрах диаметр видимого диска Луны. Для этого к двум не близким граничным точкам $(A$ и $B)$ видимого диска Луны (см. рис. 8) проведем касательные. В данных точках восстановим перпендикуляры на касательные. Находим их точку пересечения $O$ . Определяем длины отрезков $OA = 13.0$ мм и $OB = 13.5$ мм и в качестве радиуса видимого диска Луны выбираем среднее значение:

Рассмотрим рис. 9, соответствующий условию задачи. В задаче №5 настоящего релиза была вычислена максимальная фаза затмения $F_{max} = 0.5$ , определяемая как отношение покрытой части ( $d$ ) диаметра диска к диаметру всего диска Солнца $(D_{\odot})$ . Тогда прицельный параметр относительного движения Луны равен

Согласно рис. 9, Луна движется вдоль прямой $M_{1}M_{3}$ . В начальный момент затмения диск Луны касается диска Солнца в точке $K_{1}$ . Причем расстояние

между центрами дисков небесных тел есть $S M_{1} = R_{\text{☾}} + D_{\odot}/2$ . Когда центр видимого диска Луны оказывается в точке $M_{2}$ , достигается максимальная фаза затмения $F_{max}$ . Далее фаза уменьшается. При попадании центра диска Луны в точку $M_{3}$ . Тела вновь касаются своими дисками в точке $K_{2}$ и затмение заканчивается. Следовательно, Луна должна пройти путь $M_1M_3$ относительно неподвижного Солнца. В итоге, полное время затмения есть

здесь $S_{\text{☾}}=29.53$ сут – синодический период обращения Луны, $\omega_{\text{☾}}$ – соответствующая ему угловая скорость; $D_\odot''=32'=9.31\cdot10^{-3}$ рад – угловой диаметр видимого диска Солнца. Поскольку $2R_{\text{☾}}/D_\odot\approx1$, то при $F_{\max}=0.5$, $t_{ec}=109$ мин.

Расчет был выполнен для неподвижного относительно центра Земли наблюдателя (что достигается на полюсах). Если учитывать еще и ее суточное вращение, то максимальная скорость движения наблюдателя достигается на экваторе ($v_{\text{н}}=2\pi\mathfrak R_\oplus/T_\oplus=0.46$ км/с), причем он движется в том же направлении, что и Луна по орбите, со скоростью $V_{\text{☾}}=2\pi a_{\text{☾}}/T_{\text{☾}}=1.02$ км/с. Следовательно, минимальная относительная скорость Луны есть $\Delta V=V_{\text{☾}}-v_{\text{н}}=0.56$ км/с. Тогда минимальное собственное движение Луны есть – $\omega_{\text{☾}}^{(\min)}=\Delta V/a_{\text{☾}}=0.3''/\text{с}$. В итоге время затмения может составлять $t_{ec}^{(\max)}=184$ мин. В итоге полная продолжительность частного солнечного затмения составляет

Ответ:

к задаче представляется интервалом (20). (7 баллов).