Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен) · Самарска школа, 10–11 клас — Задача 18. Максимальное время выдержки для астрофотографии

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

SAMRAS-2020 — тур № 1, 10–11 классы · 15 октомври 2019 г. · 15 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10–11 КЛАССОВ. ТУР № 1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2020. Самара, 2019 г. Обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара, 2020 г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура №1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2020 повторяет пять ссылок/сроков исходных условий, приведенных выше.

Условие

Астроном-любитель, для получения высококачественных фотографий объектов глубокого космоса, традиционно использует роботизированную экваториальную монтировку, на которую выставляется труба телескопа с фокусным расстоянием $F$ . Перед сеансом наблюдений необходимо выставить, как можно точнее, полярную ось на северный полюс мира. Предположим, что в результате ручной установки (из-за неточности наведения) полюс полярной оси имеет экваториальные координаты $(t_p,p_p)$ , здесь $t_p,p_p$ – часовой угол и полярное расстояние полюса оси соответственно. Часовой привод полярной оси (оси прямых восхождений) задает ее угловую скорость вращения, равную $\omega_\oplus+\Delta\omega$ (здесь $\omega_\oplus$ – угловая скорость вращения Земли, $\Delta\omega$ – погрешность, обусловленная несовершенством часового механизма). В окулярный узел телескопа (в фокальную плоскость объектива) устанавливается астрокамера, содержащая $N$ мегапикселей, с размером сенсора $a\times b$ . Определите, максимальное время выдержки $\tau_{\max}$ , которую можно выставить на данной камере, чтобы получить фотографию без смазывания наблюдаемого звездоподобного объекта с координатами $(t_*,\delta_*)$ как функцию параметров $(t_p,p_p,\Delta\omega)$ . Для Вас может оказаться полезной теорема Котельникова: для получения дискретного изображения одномерного профиля распределения интенсивности образа звезды необходимо не менее 3 пикселей. С использованием какой-либо компьютерной программы, постройте трехмерные плоты для функции $\tau_{\max}(t_p,p_p)$ в осях $(t_p,p_p)$ , в интервалах:

0^\circ\le t_p\le360^\circ,\quad0\le p_p\le5^\circ,\qquad (2)

для телескопа с $F=750$ мм и камеры с $N=18$ Мп, размером сенсора 23.6×15.7 мм в случае, когда звезда, находится в меридиане с а) $\delta=0^\circ$ , б) $\delta=45^\circ$ , в) $\delta=85^\circ$ , при следующих значениях погрешности угловой скорости: 1) $\Delta\omega=\omega_\oplus/150$ , 2) $\Delta\omega=\omega_\oplus/30$ , 3) $\Delta\omega=\omega_\oplus/15$ , 4) $\Delta\omega=\omega_\oplus/5$ . Дайте краткий анализ полученных результатов.

Решение

Решение. Будем полагать, что астроном-любитель сориентировал телескоп так, что данный звездоподобный объект попал точно в центр поля зрения телескопа (как показано на рис. 16.а), в точку $O$ ) и при этом он включил монтировку-робот. Поскольку полюс полярной оси вращения не совпадают с осью мира, то центр поля зрения телескопа будет далее двигаться по дуге $\overset{\frown}{OC}$ малого круга, плоскость которого, перпендикулярна полярной оси монтировки телескопа (будем далее его называть псевдопараллелью).

Сам объект будет двигаться, в силу суточного вращения Земли, по суточной параллели $\overset{\frown}{OS}$ . В момент времени $\tau_{\max}$ дуга $\overset{\frown}{CS}$ достигнет критического значения, при котором станет возможным наблюдать звездоподобный объект как неточечный, что положит начало смазу его образа. Очевидно, что треугольник $\triangle_S OCS$ является сферическим. Однако, искомое время $\tau_{\max}$ всегда много меньше звездного периода $(T_\oplus)$ осевого вращения Земли, т.е. $(\tau_{\max}\ll T_\oplus)$ . Следовательно и дуги $\overset{\frown}{OC}$ и $\overset{\frown}{OS}$ , пропорциональные $\tau_{\max}$ , тоже можно считать малыми и отождествить с прямыми в картинной плоскости. Тогда $\triangle OCS$ можно считать плоским и для него применить теорему косинусов:

Рис. 16: к определению а) углового расстояния d, б) линейного расстояния ℓmax.

d^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,\qquad (114)

здесь $d=CS$ , $b=OC$ , $c=OS$ . Причем

b=\omega_T\tau_{\max}\cos\delta'_*,\quad c=\omega_\oplus\tau_{\max}\cos\delta_*,\qquad (115)

здесь $\omega_T=\omega_\oplus+\Delta\omega$ – угловая скорость вращения полярной оси монтировки, $\omega_\oplus$ – угловая скорость суточного вращения Земли, $\delta'_*$ – угловое расстояние (псевдосклонение) объекта от большого круга, перпендикулярного полярной оси телескопа (псевдоэкватора). Из (114) и (115) следует, что

d^2=\tau_{\max}^2\left[(\omega_T\cos\delta'_*)^2+(\omega_\oplus\cos\delta_*)^2-2\omega_T\omega_\oplus\cos\delta'_*\cos\delta_*\cos\alpha\right],\quad\Rightarrow

\tau_{\max}=\frac d{\sqrt{\omega_T^2\cos^2\delta'_*+\omega_\oplus^2\cos^2\delta_*-2\omega_T\omega_\oplus\cos\delta_*\cos\delta'_*\cos\alpha}},\qquad (116)

здесь $d$ , $\delta'_*$ , $\alpha$ подлежат определению.

Определим параметр $d$ . Для этого рассмотрим объектив (линза) и сенсор камеры (см. рис. 16.б). Согласно рисунку имеем

\ell_{\max}=d\cdot F,\qquad (117)

где $\ell_{\max}$ – максимально допустимая длина трека, который оставляет объектив на сенсоре, при котором еще сохраняется "точечность" изображения объекта. Согласно теореме Котельникова для получения изображения точечной звезды необходимо, как минимум, 3 пикселя. Если трек будет составлять 4 и более пикселей, то изображение станет неточечным. Пиксель сработает, если луч от объектива пройдет по нему более чем на половину.

Тогда максимальное допустимое значение $\ell_{\max}=3.5\cdot p$ , где $p$ – размер одного пикселя. Из последнего условия и выражения (117) следует, что

d=\frac{3.5\cdot p}{F}.\qquad (118)

Найдем размер одного пикселя, учитывая, что последний имеет форму квадрата. Поскольку размер сенсора камеры $a\times b$ , то его площадь есть $S_c=a\cdot b$ , $\Rightarrow$

S_0=\frac{S_c}{N}=p^2,\qquad (119)

здесь $S_0$ – площадь одного пикселя. Из (119) следует, что

p=\sqrt{\frac{a\cdot b}{N}}.\qquad (120)

Из (118) и (120) следует, что

d=\frac{3.5}{F}\sqrt{\frac{a\cdot b}{N}}.\qquad (121)

Определим далее псевдосклонение $\delta'_*$ . Для этого введем декартову систему координат $OXYZ$ (см. рис. 17): ось $OX$ направим на южную точку экватора $(A_S)$ , ось $OY$ – на точку востока $(E)$ , а ось $OZ$ – на северный полюс мира. Тогда положение точки на небесной сфере можно однозначно задать радиус-вектором $\vec r$ :

Рис. 17: к определению трех систем координат.

\vec r=(x,y,z)=(R\cos\delta_*\cos t_*,\ -\cos\delta_*\sin t_*,\ R\sin\delta_*),\qquad (122)

здесь $R$ – радиус небесной сферы $\delta_*$ , $t_*$ – склонение и часовой угол звезды. Будем полагать, что направление оси $OX$ задается единичным вектором $\vec i$ (не показаны на рисунке) оси $OY$ – вектором $\vec j$ , и оси $OZ$ – вектором $\vec k$ .

Введем новую систему координат $OX'Y'Z'$ , ось $OZ'$ которой сонаправлена с полярной осью монтировки телескопа и направлена на ее видимый полюс, ось $OY'$ лежит в плоскости $OXY$ (плоскости небесного экватора) и составляет угол $t_p-\pi$ с осью $OY$ , а ось $OX'$ составляет угол $p_p$ с плоскостью небесного экватора. В данной системе координат радиус – вектор точки небосвода можно записать так

\vec r=(x',y',z')=(R\cos\delta'_*\cos t'_*,\ -R\cos\delta'_*\sin t'_*,\ R\sin\delta'_*).\qquad (123)

Направление данных осей задаются векторами $\vec i'$ , $\vec j'$ , $\vec k'$ . Очевидно, что переход от системы $OXYZ$ к системе $OX'Y'Z'$ можно выполнить в результате двух последовательных поворотов (см. рис. 17):

в плоскости экватора $(OXY)$ на угол $(t_p-\pi)$ по часовой стрелке, если смотреть с полюса мира $P_N$ на плоскость экватора;
в плоскости $(OX_1Z_1)$ на угол $p_p$ , по часовой стрелке, если смотреть с точки $A$ .

Согласно рис. 18.а), орты системы $OXYZ$ связаны с орбитами системы $OX_1Y_1Z_1$ выражениями вида:

Рис. 18: к определению а) связи ортов систем OXY и OX1Y1, б) связи ортов систем OX1Y1 и OX′Y′, в) ориентации вектора nt.

\begin{aligned} \vec i&=\cos(t_p-\pi)\vec i_1+\sin(t_p-\pi)\vec j_1,\\ \vec j&=-\sin(t_p-\pi)\vec i_1+\cos(t_p-\pi)\vec j_1,\\ \vec k&=\vec k_1, \end{aligned}\quad\Rightarrow\quad \begin{aligned} \vec i&=-\cos t_p\vec i_1-\sin t_p\vec j_1,\\ \vec j&=\sin t_p\vec i_1-\cos t_p\vec j_1,\\ \vec k&=\vec k_1. \end{aligned}\qquad (124)

Аналогично рассуждая, можно записать связь $OX_1Y_1Z_1$ с $OX'Y'Z'$ (см. рис. 18.б):

\begin{aligned} \vec i_1&=+\cos p_p\vec i'-\sin p_p\vec k',\\ \vec j_1&=\vec j',\\ \vec k_1&=\sin p_p\vec i'+\cos p_p\vec k'. \end{aligned}\qquad (125)

Из (124) и (125) следует, что

\begin{aligned} \vec i&=-\cos t_p\cos p_p\vec i'-\sin t_p\vec j'+\cos t_p\sin p_p\vec k',\\ \vec j&=\sin t_p\cos p_p\vec i'-\cos t_p\vec j'-\sin t_p\sin p_p\vec k',\\ \vec k&=\sin p_p\vec i'+\cos p_p\vec k'. \end{aligned}\qquad (126)

Тогда связь координат систем $OXYZ$ и $OX'Y'Z'$ есть

\begin{aligned} \cos\delta'_*\cos t'_*={}&-\cos\delta_*\cos t_*\cos t_p\cos p_p-\cos\delta_*\sin t_*\sin t_p\cos p_p+\sin\delta_*\sin p_p\\ ={}&-\cos\delta_*\cos p_p\cos(t_p-t_*)+\sin\delta_*\sin p_p, \end{aligned}\qquad (127)

\begin{aligned} -\cos\delta'_*\sin t'_*&=-\sin t_p\cos\delta_*\cos t_*+\cos t_p\cos\delta_*\sin t_*\\ &=-\cos\delta_*\sin(t_p-t_*), \end{aligned}\qquad (128)

\begin{aligned} \sin\delta'_*&=+\cos\delta_*\cos t_*\cos t_p\sin p_p+\cos\delta_*\sin t_*\sin t_p\sin p_p+\sin\delta_*\cos p_p\\ &=\cos\delta_*\sin p_p\cos(t_p-t_*)+\sin\delta_*\cos p_p. \end{aligned}\qquad (129)

Из последнего выражения следует явное выражение для $\delta'_*$ .

\delta'_*=\arcsin[\cos\delta_*\sin p_p\cos(t_p-t_*)+\sin\delta_*\cos p_p].\qquad (130)

Из (127)-(128) следуют выражения для часового угла $t'_*$ :

\sin t'_*=\frac{\cos\delta_*\sin(t_p-t_*)}{\cos\delta'_*},\qquad (131)

\cos t'_*=\frac{\sin\delta_*\sin p_p-\cos\delta_*\cos p_p\cos(t_p-t_*)}{\cos\delta'_*}.\qquad (132)

Поскольку $t'_*$ определен на интервале $0\le t'_*\le360^\circ$ , то

t'_*=\begin{cases} t'_{*1},&\sin t'_*\ge0,\ \cos t'_*\ge0,\\ \pi-t'_{*1},&\sin t'_*\ge0,\ \cos t'_*<0,\\ \pi+|t'_{*1}|,&\sin t'_*<0,\ \cos t'_*<0,\\ 2\pi-|t'_{*1}|,&\sin t'_*<0,\ \cos t'_*\ge0, \end{cases}

\text{здесь }t'_{*1}=\arcsin\frac{\cos\delta_*\sin(t_p-t_*)}{\cos\delta'_*}.\qquad (133)

Определим угол $\alpha$ . Для этого определим единичные векторы, $\vec n_t$ и $\vec n'_t$ – касательные к суточной и псевдосуточной параллели в точке, где находится небесный объект. Согласно рис. 18.в) имеем

\vec n_t=-\sin t_*\vec i-\cos t_*\vec j,\qquad\vec n'_t=-\sin t'_*\vec i'-\cos t'_*\vec j'.\qquad (134)

Очевидно, угол между данными векторами и есть искомый угол $\alpha$ ; тогда

\begin{aligned} \cos\alpha=(\vec n_t\cdot\vec n'_t)={}&-\sin t_*\cos t_p\cos p_p\sin t'_*-\sin t_*\sin t_p\cos t'_*\\ &+\cos t_*\sin t_p\cos p_p\sin t'_*-\cos t_p\cos t_*\cos t'_*\\ ={}&\cos p_p\sin t'_*\sin(t_p-t_*)-\cos t'_*\cos(t_p-t_*). \end{aligned}

В итоге

\alpha=\arccos[\cos p_p\sin t'_*\sin(t_p-t_*)-\cos t'_*\cos(t_p-t_*)].\qquad (135)

На рис. 19 представлены 3D-плоты зависимости времени $\tau_{\max}$ от параметров $(p_p,t_p)$ , для звезды с координатами $(\delta_*=0^\circ,t_*=0^\circ)$ и четырех значений $\Delta\omega$ . Очевидно, что с уменьшением $\Delta\omega$ время выдержки возрастает от 1.5 с до более чем 100 с. При этом области, где $\tau_{\max}$ достигает максимального значения, становятся все более узкими, "поджимаясь" к значениям $t_p=0^\circ$ и $180^\circ$ .

Рис. 19: к определению зависимости времени τmax от параметров (pp,tp), для звезды с координатами (δ*=0°,t*=0°), при а) Δω=ω⊕/5, б) Δω=ω⊕/15, в) Δω=ω⊕/30, г) Δω=ω⊕/150.

На рис. 20 представлены 3D-плоты зависимости времени $\tau_{\max}$ от параметров $(p_p,t_p)$ , для звезды с координатами $(\delta_*=45^\circ,t_*=0^\circ)$ и четырех значений $\Delta\omega$ . Очевидно, что при значениях $\Delta\omega=(\frac1{150}\div\frac1{15})\omega_\oplus$ наблюдается явление, аналогичное резонансу (в случае вынужденных колебаний), при $t_p=0^\circ$ и малых значениях $p_p$ . Это легко объясняется почти полным совпадением скоростей видимого суточного движения светила и скорости вращения головы монтировки. Причем при $\Delta\omega=\frac1{15}\omega_\oplus$ время выдержки в режиме резонанса может достигать более 1.1 часа! Т.е., при правильной ориентации монтировки, даже при значительных погрешностях скорости ведения ее двигателя, для звезды в меридиане можно достичь значительного времени выдержки!

Рис. 20: к определению зависимости времени τmax от параметров (pp,tp), для звезды с координатами (δ*=45°,t*=0°), при а) Δω=ω⊕/5, б) Δω=ω⊕/15, в) Δω=ω⊕/30, г) Δω=ω⊕/150.

На рис. 21 представлены 3D-плоты зависимости времени $\tau_{\max}$ от параметров $(p_p,t_p)$ , для звезды с координатами $(\delta_*=85^\circ,t_*=0^\circ)$ и четырех значений $\Delta\omega$ . Нетрудно видеть, что и здесь, в случае $\Delta\omega=(\frac15\div\frac1{30})\omega_\oplus$ , наблюдается явление "резонанса". Причем по мере уменьшения $\Delta\omega$ резонансный пик "дрейфует" в сторону меньших значений $p_p$ . При значениях $\Delta\omega=\frac1{150}\omega_\oplus$ он превращается в сплошной однородный "барьер" с высотой более 400 сек.

Рис. 21: к определению зависимости времени τmax от параметров (pp,tp), для звезды с координатами (δ*=85°,t*=0°), при а) Δω=ω⊕/5, б) Δω=ω⊕/15, в) Δω=ω⊕/30, г) Δω=ω⊕/150.

Ответ: к задаче представлен выражением (116), и 3D-плотами 19-21. ( $\char36_{\max}=15$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 18 задачам помещены после условия задачи 1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Сохранены 18 самостоятельных задач, по 6 на уровнях А, B, C, и все связанные запросы/случаи внутри каждой задачи. Обложки печатают 2019 и 2020 для выпуска SAMRAS-2020; прием работ 15.10.2019–15.01.2020. Все имеющиеся ключи и справочное приложение сохранены, исходные численные/обозначительные расхождения отмечены отдельно. Сидерический период Луны в A.4 — 27.32162 сут, а в A.8 — 27.32166 сут; оба значения буквальные. Источник решений атрибутирован архиву, печатное авторство и обязательные ссылки сохранены. Организаторское происхождение именно этих архивных байтов независимо не установлено. Песенных/стихотворных материалов в полном 68-страничном пакете нет.

Примечание читателя к задаче 7

Примечание читателя: в правой половине печатного (14) после числа 26 знак минут отсутствует; это печатное отличие сохранено.

Примечание читателя к задаче 9

Примечание читателя: верхняя граница печатного (36) содержит только $-\alpha$ , тогда как предшествующий расчет дневной области (35) учитывает $\alpha+\beta$ . Обе формулы сохранены буквально; обозначение радиуса в продолжении (37) печатается как обычное $R$ .

Примечание читателя к задаче 12

Примечание читателя: источник в (55) печатает $4.86\cdot10^{-4}$ м/с, тогда как заданная скорость удаления Луны составляет 4 см/год и следующий результат (56) указан в миллиардах лет. Единица (55) и результат (56) сохранены буквально. В формуле минимального углового диаметра Солнца источник печатает в числителе радиус Земли $\mathfrak R_\oplus$ , хотя называет величину диаметром Солнца и дает $31.44'$ ; этот печатный индекс также сохранен, без подмены на $\odot$ .

Примечание читателя к задаче 13

Примечание читателя: буквальные результаты ключа сохранены. Утверждение «в 1.86 раза меньше» не согласуется с отношением 0.65 в (66) и обратным отношением 1.53 в (73); исходные числа не заменены.

Примечание читателя к задаче 16

Примечание читателя: сохранена исходная стрелка над $p_m$ в правой части (90). Обозначения $\varphi_S$ , $\lambda_S$ в исходном тексте используются сначала для южного геомагнитного полюса ( $-80.37^\circ$ , $107.38^\circ$ ), затем в описании рис. 14 для Самары ( $53^\circ12'$ , $50^\circ06'$ ); эти разные применения не переименованы.

Примечание читателя к задаче 17

Примечание читателя: в исходном раскрытии произведения напечатан положительный член $+(\Delta\mathfrak M)^2$ . Фраза «за год» стоит рядом с расчетом переноса за миллион лет; предположение $\Delta P\ll P$ соседствует с результатом $\Delta P/P=0.301$ . Все эти исходные положения сохранены.

Примечание читателя к задаче 18

Примечание читателя: во второй компоненте вектора в (122) исходный множитель $R$ отсутствует, хотя он присутствует в соответствующей компоненте (123). Это буквальное расхождение подтверждено нативной K37 и сохранено; исправление не подставлено.

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя: повторная справочная диаграмма

В приложении ключа повторены справочные данные A.1–A.10. Исходная диаграмма Герцшпрунга–Рассела из ключа также приведена рядом с решением задачи 1. Это общее приложение ко всем задачам, а не дополнительная задача.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf