Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен) · Самарска школа, 10–11 клас — Задача 17. Эволюция системы WASP-12

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

SAMRAS-2020 — тур № 1, 10–11 классы · 15 октомври 2019 г. · 14 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10–11 КЛАССОВ. ТУР № 1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2020. Самара, 2019 г. Обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара, 2020 г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура №1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2020 повторяет пять ссылок/сроков исходных условий, приведенных выше.

Условие

Экзопланета WASP-12b была открыта в 2008 году. Исследования показали, что данная экзопланета движется по круговой орбите радиуса 0.021 а.е. вокруг материнской звезды с массой $M_*=1.35M_\odot$ . Масса экзопланеты составляет $M_p=1.39M_J$ , где $M_J$ – масса Юпитера. Известно, что материнская звезда ежесекундно отбирает у экзопланеты вещество массой $8.4\cdot10^{12}$ кг. Определите абсолютное и относительное изменения периода обращения экзопланеты за последующий 1 млн. лет.

Решение

Решение. Заметим, что в системе наблюдается аккрекция вещества на более массивное тело, при этом расстояние между звездой и планетой, сравнимо с размером самой звезды, а орбита относительного движения экзопланеты является круговой. Определим радиусы орбит этих тел относительно их центра масс.

Обозначим массы тел как $\mathfrak M_1=\mathfrak M_*$ и $\mathfrak M_2=\mathfrak M_p$ и будем считать, что в начальный момент времени радиус орбиты экзопланеты (2) относительно звезды (1) равен $a$ . Поскольку оба тела должны вращаться вокруг центра масс этой системы, то радиусы орбит этих тел вокруг центра масс есть

a_1=\frac{\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}a,\quad a_2=\frac{\mathfrak M_1}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}a.\qquad (105)

Если орбитальный период системы $P$ (в тот же момент времени), то линейные скорости движения тел легко вычисляются:

v_1=\frac{2\pi a_1}{P},\quad v_2=\frac{2\pi a_2}{P}.\qquad (106)

В процессе аккреции сохраняются масса и момент импульса системы. Поскольку мы рассматриваем перенос массы с экзопланеты на звезду, можно считать, что суммарная масса системы остается неизменной.

Закон сохранения полной механической энергии, в данном случае, очевидно, не выполняется. Газ, переместившийся с экзопланеты на звезду, сталкивается с телом последней неупругим образом, при этом какая-то часть механической энергии переходит в тепловую.

В рассматриваемой задаче момент импульса системы складывается из двух орбитальных моментов тел. Сразу же пренебрежем моментом импульса, создаваемым веществом аккреционного диска (находящимся "в пути" с экзопланеты на звезду) – его масса, явно, очень мала по сравнению с массами рассматриваемых тел. Однако и моменты, связанные с осевым вращением, также, явно, много меньше, чем орбитальные, поэтому мы ограничимся записью только суммарного орбитального момента импульса системы. Орбиты круговые, скорости всегда перпендикулярны радиус-векторам тел, поэтому выражение получается достаточно простым:

J=\mathfrak M_1v_1a_1+\mathfrak M_2v_2a_2.\qquad (107)

Преобразуем его, подставив выражения для скоростей звезд и радиусов их орбит. Получим

J=2\pi\left(\frac{\mathfrak M_1a_1^2}{P}+\frac{\mathfrak M_2a_2^2}{P}\right)=\frac{2\pi}{P}\left[\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2^2a^2}{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)^2}+\frac{\mathfrak M_2\mathfrak M_1^2a^2}{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)^2}\right],\quad\Rightarrow

J=\frac{2\pi}{P}\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2a^2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}.\qquad (108)

Далее воспользуемся III законом Кеплера:

\frac{P^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)},\quad\Rightarrow a=\left[\frac{GP^2}{4\pi^2}(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)\right]^{1/3}.\qquad (109)

Выразим из него большую полуось системы $a$ и подставим в выражение для момента импульса

J=\frac{2\pi}{P}\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}\left[\frac{GP^2}{4\pi^2}(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)\right]^{2/3}.\qquad (110)

Именно эта величина и должна сохраняться в процессе аккреции. Можно заметить, что некоторые множители в данном выражении сохраняются сами по себе, в частности, не меняются константы и суммарная масса системы. Следовательно, константой должна быть величина $P^{1/3}\mathfrak M_1\mathfrak M_2$ .

Теперь предложим, что за один миллион лет с экзопланеты на звезду переместилась масса $\Delta\mathfrak M$ (в нашей упрощенной модели масса фактически мгновенно пропадает на экзопланете и появляется на звезде). В результате, масса первого тела стала равной $\mathfrak M'_1=\mathfrak M_1+\Delta\mathfrak M$ , а масса второго тела – $\mathfrak M'_2=\mathfrak M_2-\Delta\mathfrak M$ . За то же время период системы поменялся на величину $\Delta P$ и стал равным $P+\Delta P$ . Тогда

(P+\Delta P)^{1/3}(\mathfrak M_1+\Delta\mathfrak M)(\mathfrak M_2-\Delta\mathfrak M)=P^{1/3}\mathfrak M_1\mathfrak M_2.

Отсюда

\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2+\mathfrak M_2\Delta\mathfrak M-\mathfrak M_1\Delta\mathfrak M+(\Delta\mathfrak M)^2}{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}=\left(\frac{P}{P+\Delta P}\right)^{1/3}.

Заметим, что $\Delta P\ll P$ (что просто следует из условия), а переместившаяся за год масса $\Delta\mathfrak M$ , очевидно, также намного меньше каждой из масс звезд. Поэтому в левой части равенства будем пренебрегать слагаемым, пропорциональным $\Delta\mathfrak M^2$ , а правую перепишем в более удобном виде:

1-\frac{(\mathfrak M_1-\mathfrak M_2)\Delta\mathfrak M}{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}=\left(\frac1{1+\frac{\Delta P}{P}}\right)^{1/3}.\qquad (111)

Известно, что при $x\ll1$ справедливо приближение вида:

(1+x)^\alpha\approx1+\alpha\cdot x,\quad\Rightarrow\frac1{(1+x)^{1/3}}=(1+x)^{-1/3}\approx1-\frac x3.

C использованием последнего результата преобразуем правую часть равенства (111):

1-\frac{(\mathfrak M_1-\mathfrak M_2)\Delta\mathfrak M}{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}=1-\frac13\frac{\Delta P}{P},

откуда выражаем

\frac{\Delta P}{P}=3\frac{\Delta\mathfrak M}{\mathfrak M_2}\left(1-\frac{\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1}\right)=0.301,\qquad (112)

здесь учтено, что за последующий один миллион лет

\Delta\mathfrak M=8.4\cdot10^{12}\text{ кг/с}\cdot3.155\cdot10^7\text{с}\cdot10^6=2.65\cdot10^{26}\text{ кг}.

Из выражения (109) следует

P=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{G(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)}}=0.956\text{ сут},\quad\Rightarrow\Delta P=0.288\text{ сут}.\qquad (113)

Ответ: к задаче представляется выражениями (112), (113). ( $\char36_{\max}=14$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 18 задачам помещены после условия задачи 1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Сохранены 18 самостоятельных задач, по 6 на уровнях А, B, C, и все связанные запросы/случаи внутри каждой задачи. Обложки печатают 2019 и 2020 для выпуска SAMRAS-2020; прием работ 15.10.2019–15.01.2020. Все имеющиеся ключи и справочное приложение сохранены, исходные численные/обозначительные расхождения отмечены отдельно. Сидерический период Луны в A.4 — 27.32162 сут, а в A.8 — 27.32166 сут; оба значения буквальные. Источник решений атрибутирован архиву, печатное авторство и обязательные ссылки сохранены. Организаторское происхождение именно этих архивных байтов независимо не установлено. Песенных/стихотворных материалов в полном 68-страничном пакете нет.

Примечание читателя к задаче 7

Примечание читателя: в правой половине печатного (14) после числа 26 знак минут отсутствует; это печатное отличие сохранено.

Примечание читателя к задаче 9

Примечание читателя: верхняя граница печатного (36) содержит только $-\alpha$ , тогда как предшествующий расчет дневной области (35) учитывает $\alpha+\beta$ . Обе формулы сохранены буквально; обозначение радиуса в продолжении (37) печатается как обычное $R$ .

Примечание читателя к задаче 12

Примечание читателя: источник в (55) печатает $4.86\cdot10^{-4}$ м/с, тогда как заданная скорость удаления Луны составляет 4 см/год и следующий результат (56) указан в миллиардах лет. Единица (55) и результат (56) сохранены буквально. В формуле минимального углового диаметра Солнца источник печатает в числителе радиус Земли $\mathfrak R_\oplus$ , хотя называет величину диаметром Солнца и дает $31.44'$ ; этот печатный индекс также сохранен, без подмены на $\odot$ .

Примечание читателя к задаче 13

Примечание читателя: буквальные результаты ключа сохранены. Утверждение «в 1.86 раза меньше» не согласуется с отношением 0.65 в (66) и обратным отношением 1.53 в (73); исходные числа не заменены.

Примечание читателя к задаче 16

Примечание читателя: сохранена исходная стрелка над $p_m$ в правой части (90). Обозначения $\varphi_S$ , $\lambda_S$ в исходном тексте используются сначала для южного геомагнитного полюса ( $-80.37^\circ$ , $107.38^\circ$ ), затем в описании рис. 14 для Самары ( $53^\circ12'$ , $50^\circ06'$ ); эти разные применения не переименованы.

Примечание читателя к задаче 17

Примечание читателя: в исходном раскрытии произведения напечатан положительный член $+(\Delta\mathfrak M)^2$ . Фраза «за год» стоит рядом с расчетом переноса за миллион лет; предположение $\Delta P\ll P$ соседствует с результатом $\Delta P/P=0.301$ . Все эти исходные положения сохранены.

Примечание читателя к задаче 18

Примечание читателя: во второй компоненте вектора в (122) исходный множитель $R$ отсутствует, хотя он присутствует в соответствующей компоненте (123). Это буквальное расхождение подтверждено нативной K37 и сохранено; исправление не подставлено.

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя: повторная справочная диаграмма

В приложении ключа повторены справочные данные A.1–A.10. Исходная диаграмма Герцшпрунга–Рассела из ключа также приведена рядом с решением задачи 1. Это общее приложение ко всем задачам, а не дополнительная задача.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf