Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен) · Самарска школа, 10–11 клас — Задача 16. Погрешность определения азимута компасом

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

SAMRAS-2020 — тур № 1, 10–11 классы · 15 октомври 2019 г. · 13 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10–11 КЛАССОВ. ТУР № 1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2020. Самара, 2019 г. Обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара, 2020 г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура №1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2020 повторяет пять ссылок/сроков исходных условий, приведенных выше.

Условие

Некоторые модели современных телескопов оснащаются роботизированными азимутальными монтировками. Для их корректной работы необходимо предварительно ориентировать трубу телескопа в направлении на точку севера. Чтобы это сделать быстро и приближенно, производители телескопов предлагают использовать магнитный компас. Как известно, глобальное магнитное поле Земли можно аппроксимировать полем точечного магнитного диполя, то есть как будто земной шар представляет собой полосовой магнит с осью, направленной приблизительно с севера на юг. Центр этого диполя смещен относительно центра Земли на 430 км в восточное полушарие, а ось наклонена к оси вращения Земли на угол около $\varepsilon=9.63^\circ$ . На такой же угол отстоят от соответствующих географических полюсов геомагнитные полюса – точки пересечения оси диполя с поверхностью Земли. Согласно модели WMM, северный геомагнитный полюс (по сути, это южный полюс магнита) имеет координаты $\varphi_N=80.37^\circ$ , и $\lambda_N=287{,}38^\circ$ , южный геомагнитный полюс – $\varphi_S=-80.37^\circ$ , $\lambda_S=107.38^\circ$ . Вычислите погрешность определения азимута точки севера с помощью магнитного компаса, как функцию широты $(\varphi)$ и долготы $(\lambda)$ места наблюдения.

Решение

Дано: $\Delta h=430$ км, $\varepsilon=9.63^\circ$ , $\varphi_N=80.37^\circ$ , $\lambda_N=287.38^\circ$ , $\varphi_S=-80.37^\circ$ , $\lambda_S=107.38^\circ$ . Найти: $\Delta A(\varphi,\lambda)$ .

Решение: Как известно, свободно вращающаяся стрелка магнитного компаса всегда ориентируется вдоль направления вектора индукции $(\vec B_\oplus)$ магнитного поля Земли, поскольку энергия взаимодействия стрелки с магнитным полем Земли в этом случае минимальна

U_B=-(\vec p\cdot\vec B_\oplus)=-\vec p_m\cdot B_\oplus\cos\alpha\qquad (90)

если $\vec p_m$ – магнитный момент стрелки сонаправлен с $\vec B$ , то $\alpha=0$ , тогда $U_B$ принимает минимальное значение:

U_B^{\min}=-p_m\cdot B_\oplus.\qquad (91)

Следовательно, в месте наблюдения необходимо определить направление вектора магнитной индукции, а точнее – его горизонтальной составляющей, поскольку магнитную стрелку компаса располагают, как правило, в плоскости математического горизонта.

Введем декартову систему координат так как показано на рис. 12. Причем ось $OZ$ направим вдоль оси вращения Земли от южного к северному геополюсу. Плоскость $OXY$ совместим с экваториальной плоскостью Земли, причем ось $OX$ проведем через точку $A$ пересечения геоэкватора и нулевого (Гринвичского) меридиана. Тогда ось $OY$ пройдет через точку экватора с долготой $+90^\circ$ . Координаты произвольной точки $(B)$ поверхности земного шара в этой системе можно задать набором координат $(x,y,z)$ , которые можно представить через географические

Рис. 12: к определению систем координат.

\begin{aligned}x&=\mathfrak R_\oplus\cos\varphi\cdot\cos\lambda,\\y&=\mathfrak R_\oplus\cos\varphi\cdot\sin\lambda,\\z&=\mathfrak R_\oplus\sin\varphi.\end{aligned}\qquad (92)

Определим орт $\vec n_r$ как единичный вектор, задающий направление геоцентрического радиуса-вектора точки $B$ :

\vec n_r=\frac{\vec r}{|r|}=(\cos\varphi\cdot\cos\lambda,\ \cos\varphi\cdot\sin\lambda,\ \sin\varphi),\qquad (93)

здесь учтено, что $|\vec r|=\mathfrak R_\oplus$ . Введем далее орт $\vec n_\varphi$ , который будет перпендикулярен $\vec n_r$ (т.е. отвесной линии) и будет направлен по касательной к геомеридиану, в сторону увеличения геошироты. Нетрудно убедиться в том, что этот вектор, в данном месте, всегда будет направлен на точку севера.

Очевидно, что $\vec n_\varphi$ повернут на угол $90^\circ$ в сторону северного геополюса относительно $\vec n_r$ , тогда координаты вектора $\vec n_\varphi$ есть

\vec n_\varphi=(\cos(90^\circ+\varphi)\cdot\cos\lambda,\ \cos(90^\circ+\varphi)\cdot\sin\lambda,\ \sin(90^\circ+\varphi)),\quad\Rightarrow

\vec n_\varphi=(-\sin\varphi\cos\lambda,\ -\sin\varphi\sin\lambda,\ \cos\varphi).\qquad (94)

Как известно, вектор магнитной индукции, создаваемой магнитным диполем $\vec p_\oplus$ можно записать так

\vec B_\oplus=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3(\vec p_\oplus\vec r)\vec r}{r^5}-\frac{\vec p_\oplus}{r^3}\right].\qquad (95)

Поскольку $\Delta h\ll\mathfrak R_\oplus$ , то будем далее пренебрегать смещением диполя к востоку и будем считать, что центр диполя расположен в центре Земли. Поскольку диполь ориентирован своим концом на северный магнитный полюс магнита, который совпадают с южным геомагнитным полюсом, то координаты диполя в системе $OXYZ$ есть (по аналогии с вектором $\vec r$ ):

\vec p_\oplus=(p_\oplus\cos\varphi_S\cos\lambda_S,\ p_\oplus\cos\varphi_S\sin\lambda_S,\ p_\oplus\sin\varphi_S),\qquad (96)

здесь $p_\oplus$ – величина магнитного диполя глобального магнитного поля Земли.

Тогда проекции вектора магнитной индукции, определенного в точке $B$ поверхности Земного шара определяется так

\begin{aligned} B_x&=\frac{\mu_0p_\oplus}{4\pi\mathfrak R_\oplus^3}(s\cos\varphi\cos\lambda-\cos\varphi_S\cos\lambda_S),\\ B_y&=\frac{\mu_0p_\oplus}{4\pi\mathfrak R_\oplus^3}(s\cos\varphi\sin\lambda-\cos\varphi_S\sin\lambda_S),\\ B_z&=\frac{\mu_0p_\oplus}{4\pi\mathfrak R_\oplus^3}(s\sin\varphi-\sin\varphi_S), \end{aligned}\qquad (97)

где

s=3(\cos\varphi\cos\lambda\cos\varphi_S\cos\lambda_S+\cos\varphi\sin\lambda\cos\varphi_S\sin\lambda_S+\sin\varphi\sin\varphi_S)=

=3(\cos\varphi\cos\varphi_S\cos(\lambda-\lambda_S)+\sin\varphi\sin\varphi_S).\qquad (98)

Вектор магнитной индукции $\vec B_\oplus$ , в данном месте поверхности Земли, можно разложить на 2 составляющих: $\vec B_\oplus^{(H)}$ горизонтальный и $\vec B_\oplus^{(V)}$ вертикальный векторы.

Вертикальный вектор можно определить как

\vec B_\oplus^{(V)}=(\vec B_\oplus\vec n_r)\vec n_r,\quad\text{или}

\vec B_\oplus^{(V)}=(\tau\cos\varphi\cos\lambda,\ \tau\cos\varphi\sin\lambda,\ \tau\sin\varphi),\qquad (99)

\text{где }\tau=B_x\cos\varphi\cdot\cos\lambda+B_y\cos\varphi\cdot\sin\lambda+B_z\sin\varphi.\qquad (100)

Тогда горизонтальную составляющую вектора $\vec B_\oplus$ можно записать так:

\vec B_\oplus^{(H)}=\vec B_\oplus-\vec B_\oplus^{(V)},\quad\text{или в проекциях}

\begin{aligned} B_{\oplus x}^{(H)}&=B_x-\tau\cos\varphi\cdot\cos\lambda,\\ B_{\oplus y}^{(H)}&=B_y-\tau\cos\varphi\cdot\sin\lambda,\\ B_{\oplus z}^{(H)}&=B_z-\tau\sin\varphi. \end{aligned}\qquad (101)

Искомая погрешность определения азимута точки севера задается углом $\Delta A$ между векторами $\vec n_\varphi$ и $\vec B_\oplus^{(H)}$ (см. рис. 12):

\Delta A=\arccos\left[\frac{\vec B_\oplus^{(H)}\cdot\vec n_\varphi}{B_\oplus^{(H)}}\right],\quad\text{или}\qquad (102)

\Delta A=\arccos\left[\frac{-B_{\oplus x}^{(H)}\sin\varphi\cos\lambda-B_{\oplus y}^{(H)}\sin\varphi\sin\lambda+B_{\oplus z}^{(H)}\cos\varphi}{B_\oplus^{(H)}}\right],\qquad (103)

где

B_\oplus^{(H)}=\sqrt{(B_{\oplus x}^{(H)})^2+(B_{\oplus y}^{(H)})^2+(B_{\oplus z}^{(H)})^2}.\qquad (104)

На рис. 14.а) представлена зависимость погрешности $\Delta A$ определения азимута точки севера от долготы пункта наблюдения для двух значений широты ( $\varphi=0^\circ$ – экватор, $\varphi=\varphi_S=53^\circ12'$ – широта г. Самары). Очевидно, что у данных кривых имеются два нулевых минимума (соответствующих долготам северного и южного магнитного полюса) и два максимума. В случае кривой для широты $\varphi_S$ значения максимумов превосходят более чем в 1.5 раза соответствующие значения для кривой с $\varphi=0$ .

На рис. 14.б) представлена зависимость погрешности $\Delta A$ определения азимута точки севера от широты пункта наблюдения для двух значений долготы ( $\lambda=0^\circ$ – гринвичский меридиан, $\lambda=\lambda_S=50^\circ06'$ – долгота г. Самары). Очевидно, что данные кривые подобны по форме. Однако, в околополярных областях (в окрестности $\varphi=\pm90^\circ$ ) погрешность на гринвичском меридиане существенно больше, чем на меридиане г. Самары, что продиктовано большей одновременной близостью его точек к географическому и магнитному полюсам.

Рис. 14: зависимость погрешности ΔA определения азимута точки севера от а) долготы пункта наблюдения для двух значений широты (φ=0° — экватор, φ=φS=53°12′ — широта г. Самары); б) широты пункта наблюдения для двух значений долготы (λ=0° — гринвичский меридиан, λ=λS=50°06′ — долгота г. Самары).

Для большей полноты картины на рис. 15 представлен трехмерный плот зависимости погрешности $\Delta A$ определения азимута точки севера от долготы и широты пункта наблюдения на поверхности Земли. Из рисунка очевидно, что наибольшее значение ( $180^\circ$ ) данная величина достигает точно на меридианах магнитных полюсов, между этими и географическими полюсами. Минимальное значение ( $0^\circ$ ) данная величина достигает на остальной части этих меридианов.

Рис. 15: зависимость погрешности ΔA определения азимута точки севера от долготы и широты пункта наблюдения на поверхности Земли.

Ответ: к задаче представлен выражением (103). ( $\char36_{\max}=13$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 18 задачам помещены после условия задачи 1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Сохранены 18 самостоятельных задач, по 6 на уровнях А, B, C, и все связанные запросы/случаи внутри каждой задачи. Обложки печатают 2019 и 2020 для выпуска SAMRAS-2020; прием работ 15.10.2019–15.01.2020. Все имеющиеся ключи и справочное приложение сохранены, исходные численные/обозначительные расхождения отмечены отдельно. Сидерический период Луны в A.4 — 27.32162 сут, а в A.8 — 27.32166 сут; оба значения буквальные. Источник решений атрибутирован архиву, печатное авторство и обязательные ссылки сохранены. Организаторское происхождение именно этих архивных байтов независимо не установлено. Песенных/стихотворных материалов в полном 68-страничном пакете нет.

Примечание читателя к задаче 7

Примечание читателя: в правой половине печатного (14) после числа 26 знак минут отсутствует; это печатное отличие сохранено.

Примечание читателя к задаче 9

Примечание читателя: верхняя граница печатного (36) содержит только $-\alpha$ , тогда как предшествующий расчет дневной области (35) учитывает $\alpha+\beta$ . Обе формулы сохранены буквально; обозначение радиуса в продолжении (37) печатается как обычное $R$ .

Примечание читателя к задаче 12

Примечание читателя: источник в (55) печатает $4.86\cdot10^{-4}$ м/с, тогда как заданная скорость удаления Луны составляет 4 см/год и следующий результат (56) указан в миллиардах лет. Единица (55) и результат (56) сохранены буквально. В формуле минимального углового диаметра Солнца источник печатает в числителе радиус Земли $\mathfrak R_\oplus$ , хотя называет величину диаметром Солнца и дает $31.44'$ ; этот печатный индекс также сохранен, без подмены на $\odot$ .

Примечание читателя к задаче 13

Примечание читателя: буквальные результаты ключа сохранены. Утверждение «в 1.86 раза меньше» не согласуется с отношением 0.65 в (66) и обратным отношением 1.53 в (73); исходные числа не заменены.

Примечание читателя к задаче 16

Примечание читателя: сохранена исходная стрелка над $p_m$ в правой части (90). Обозначения $\varphi_S$ , $\lambda_S$ в исходном тексте используются сначала для южного геомагнитного полюса ( $-80.37^\circ$ , $107.38^\circ$ ), затем в описании рис. 14 для Самары ( $53^\circ12'$ , $50^\circ06'$ ); эти разные применения не переименованы.

Примечание читателя к задаче 17

Примечание читателя: в исходном раскрытии произведения напечатан положительный член $+(\Delta\mathfrak M)^2$ . Фраза «за год» стоит рядом с расчетом переноса за миллион лет; предположение $\Delta P\ll P$ соседствует с результатом $\Delta P/P=0.301$ . Все эти исходные положения сохранены.

Примечание читателя к задаче 18

Примечание читателя: во второй компоненте вектора в (122) исходный множитель $R$ отсутствует, хотя он присутствует в соответствующей компоненте (123). Это буквальное расхождение подтверждено нативной K37 и сохранено; исправление не подставлено.

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя: повторная справочная диаграмма

В приложении ключа повторены справочные данные A.1–A.10. Исходная диаграмма Герцшпрунга–Рассела из ключа также приведена рядом с решением задачи 1. Это общее приложение ко всем задачам, а не дополнительная задача.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2020-1]_10-11 classes.pdf