Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 9. Поле зрения фотокамеры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — тур №1, 7–9 классы · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивный каталог и стабильный ID называют этот пакет II этапом; собственная обложка, заголовки условий и авторского ключа явно печатают тур №1 сезона2019–2020. Сохранены12 независимых целых задач двух уровней и полный соответствующий авторский ключ. Общая сумма баллов и длительность не напечатаны: баллы отдельных задач сохранены, общая сумма не выдумана. Общий восьмистраничный справочный раздел представлен полностью исходными изображениями; повтор этого раздела в ключе прочитан и сохранен в полном оригинальном PDF. Декоративные рисунки разделителей и обложки не являются научными ресурсами.

В условии задачи5 напечатано «межу»; в повторе условия авторского ключа — «между». Оба исходных варианта отмечены без скрытого исправления.

Задача10 дает G=6.673×10⁻¹¹ Н·м²/кг², а общая таблица А.1 — 6.674×10⁻¹¹; сохранены оба значения с исходной областью применения.

В авторской формуле(64) задачи12 перед1.315×10⁹ кг/с не напечатан знак отношения; исходная запись сохранена. Условие просит календарный год, а ключ печатает время1.1522×10⁷ лет назад; отсутствующий календарный ответ не придуман.

Сохранены исходные формулировки ключа, включая «мощность получения Хокинга» и слова перигей/афелий в задаче11.

В ключе задачи6 исходно напечатано «плосковатости» и «плосковатую»; эти слова сохранены буквально.

Обложка и уровни оригинала

Самарский региональный центр для одаренных детей

Самарская областная астрономическая школа

Открытая межрегиональная олимпиада по астрономии им. Ф.А. Бредихина

7–9 классы

Сезон: 2019–2020

Тур №1

Самара, 2020 г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

Общие указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности — «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7–9 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 7-9 классов. Сезон: 2019-2020, Тур №1». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs

или

https://vk.com/doc-57032141_451699934

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Выходные данные авторского ключа (К2):

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 среди обучающихся7–9классов. Тур №1».

Составитель: — Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна: https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

В памятке ключа дополнительная ссылка на руководство указана как https://vk.com/bredikhinolimp ; в условиях напечатана отдельная ссылка на документ, приведенная выше.

Полные исходные справочные данные

Полные исходные справочные данные, страница10.

Полные исходные справочные данные, страница11.

Полные исходные справочные данные, страница12.

Полные исходные справочные данные, страница13.

Полные исходные справочные данные, страница14.

Полные исходные справочные данные, страница15.

Полные исходные справочные данные, страница16.

Полные исходные справочные данные, страница17.

Условие

Астроном-любитель для фотообзора звездного неба использует зеркальную камеру, имеющую $N$ -мегапиксельную матрицу с кроп-фактором $k$ и объектив с фокусным расстоянием $f$ . Определите угловые размеры (угловую высоту, ширину и длину диагонали кадра) поля зрения камеры? Определите телесный угол, соответствующий полю зрения камеры. Численные расчеты провести на примере камеры Canon 600D, с $N=18.0$ Мп, кроп-фактором $k=1.6$ и объективом Canon с $f=50$ мм. Сможет поместиться полностью в кадр такого фотоаппарата группа известных астеризмов (см. рис. 3) — сноп, дубинка и щит Ориона?

Решение

Дано: $N=18$ Мп, $k=1.6$ , $f=50$ мм. Найти: $h,\ell,d,\Omega$ ; сможет ли?

Рассмотрим оптическую схему "объектив-фотокамера" (см. рис. 6). Здесь 1 — объект фотообзора, определяющий максимальную угловую высоту $h$ , которую еще может запечатлеть матрица 3; 2 — объектив, в фокусе которого расположена матрица (в случае наблюдения небесного тела). Очевидно, что максимальная угловая высота $h=2\alpha$ , причем из $\triangle OAC$ следует, что

Рис. 6: к определению оптической схемы 'объектив-фотокамера'. — Рис. 6: к определению оптической схемы "объектив-фотокамера".

\operatorname{tg}\alpha=\frac{AB}{2f}=\frac{b'}{2f}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\operatorname{arctg}\left[\frac{b'}{2f}\right],\qquad (27)

здесь и далее $a',b'$ — линейные размеры матрицы камеры, кроп-фактор которой $k$ , причем

a'=\frac{a_0}{k}=22.5\ \text{мм},\qquad b'=\frac{b_0}{k}=15\ \text{мм},\qquad (28)

здесь $a_0=36$ мм, $b_0=24$ мм — размеры стандартной полнокадровой матрицы. В итоге, угловая высота кадра есть

h=2\operatorname{arctg}\left[\frac{b_0}{2kf}\right]=17.1^\circ.\qquad (29)

Аналогично можно рассчитать угловую ширину кадра $\ell$ и угловую длину диагонали кадра $d$ :

\ell=2\operatorname{arctg}\left[\frac{a_0}{2kf}\right]=25.4^\circ,\qquad d=2\operatorname{arctg}\left[\frac{\sqrt{a_0^2+b_0^2}}{2kf}\right]=30.3^\circ.\qquad (30)

Последняя величина определяет угловой диаметр поля зрения камеры с данным объективом. Для определения телесного угла рассмотрим рис. 7. Здесь $ABCD$ — прямоугольник, определяющий границы поля зрения камеры на расстоянии $OF=r$ от последней. Телесный угол $\Omega$ поля зрения камеры можно определить приближенно как

\Omega\approx\frac{S_{ABCD}}{r^2},\qquad (31)

где $S_{ABCD}$ — площадь данного прямоугольника, которую можно записать так

S_{ABCD}=AB\cdot BC=EG\cdot JK=\left(2r\cdot\operatorname{tg}\frac h2\right)\left(2r\cdot\operatorname{tg}\frac\ell2\right)=4r^2\cdot\operatorname{tg}\frac h2\cdot\operatorname{tg}\frac\ell2,

здесь учтено, что

EG=2EF=2r\operatorname{tg}\frac h2,\quad JK=2JF=2r\cdot\operatorname{tg}\frac\ell2.\qquad (32)

Из выражений (31) и (32) следует, что

\Omega=4\operatorname{tg}\left(\frac h2\right)\cdot\operatorname{tg}\left(\frac\ell2\right)\approx4\sin\left(\frac h2\right)\cdot\sin\left(\frac\ell2\right).\qquad (33)

Последний приближенный результат имеет место быть в случае небольших значений углов $\frac h2$ и $\frac\ell2$ . Точная формула для данного телесного угла должна быть записана так (вывод последней очень сложен и приводится лишь для полноты картины задачи)

\Omega=4\arcsin\left[\sin\left(\frac h2\right)\cdot\sin\left(\frac\ell2\right)\right].\qquad (34)

Однако, в силу малости углов $\frac h2$ и $\frac\ell2$ выражения (33), (34) дают одинаковые значения $\Omega=0.13074$ срад $=429$ кв. град.

Как известно, астеризм — сноп Ориона образуют 6 звезд: $\alpha,\gamma,\delta,\beta,k,\zeta$ . Щит Ориона образуют $\pi^1\div\pi^6$ . Дубинку Ориона составляют $\chi^1,\chi^2,\nu,\xi$ , и 69. Эта группа астеризмов вместе по склонению имеет протяженность более $30^\circ$ , а по прямому восхождению — $24^\circ$ . Сопоставляя (29) и (30) с последними величинами, приходим к заключению, что эта группа астеризмов не сможет попасть полностью в кадр.

Ответ: к задаче представлен выражениями (29)–(30), (33); $\Omega=429$ кв. град; не сможет. (14 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf