Самара 2021, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача №7. «Азимут точки захода Солнца за горизонт в г. Самаре» · Уровень «Знаток» (уровень B)

Решение. Прежде чем приступить к решению данной задачи, рассмотрим некоторые важные частные вопросы сферической астрономии, касающиеся сферических треугольников.

Как известно, через любые две точки на сфере, не лежащие на одном диаметре, можно провести только один большой круг. Дуга большого круга является кратчайшим расстоянием на сфере между двумя точками. Точка на сфере, равноудаленная от всех точек большого круга, называется полюсом этого круга.

Фигура на поверхности сферы, образованная тремя дугами больших кругов, соединяющими попарно три какие-либо точки на сфере, называется сферическим треугольником. Принято обозначать углы сферического треугольника большими буквами $A$, $B$ и $C$, а противоположные им стороны соответствующими малыми буквами $a$, $b$ и $c$ (см. рис. 4). Угол сферического треугольника измеряется углом между касательными к сторонам треугольника, проведенными в вершине этого угла (см. рис. 4). Обычно рассматриваются такие сферические треугольники, у которых каждая из сторон меньше $180^\circ$. В этом случае сумма углов сферического треугольника будет удовлетворять неравенству:

Введем в рассмотрение понятие взаимно полярных сферических треугольников. Построим сферический треугольник $ABC$ (см. рис. 5). Пусть полюсом дуги $AB$ является точка $C'$, полюсом дуги $AC$ – точка $B'$ и полюсом дуги $BC$ – точка $A'$. Если $A'$, $B'$, $C'$ соединить дугами больших кругов на сфере, то получим сферический треугольник $A'B'C'$, который называется взаимно полярным с треугольником $ABC$. Вершины треугольника $ABC$, т.е. точки $A$, $B$ и $C$, в свою очередь будут полюсами сторон $B'C'$, $A'C'$ и $A'B'$.

Установим связь между сторонами и углами взаимно полярных сферических треугольников. Для этого продолжим $CA$ и $CB$ до пересечения со стороной $A'B'$ в точках $K$ и $M$. Так как $A'$ и $B'$ есть полюсы сторон $CB$ и $CA$, то $A'M=B'K=90^\circ$. Но точка $C$ является полюсом $A'B'$, и следовательно, $KM$ численно равно углу $C$ треугольника $ABC$. Поэтому, так как

По аналогии с этим выражением можно получить соотношения между остальными элементами двух взаимно полярных сферических треугольников:

Далее получим серию формул, устанавливающих связь между сторонами сферического треугольника. На сфере с центром в точке $O$ возьмем сферический треугольник $ABC$ (см. рис. 4) со сторонами $a$, $b$ и $c$. Соединим вершины сферического треугольника $A$, $B$ и $C$ с центром сферы $O$ радиусами $OA=OB=OC=R$. Опустим из вершины сферического треугольника $C$ на плоскость $AOB$ перпендикуляр $CE$. Из точки $E$, лежащей в плоскости $AOB$, опустим перпендикуляры $ED$ и $EK$ на радиусы сферы $OA$ и $OB$. Проведем отрезки $CK$ и $CD$. Построим отрезок $DM$, параллельный отрезку $EK$, и отрезок $EN$, параллельный отрезку $KM$. При таком построении получается шесть прямоугольных плоских треугольников: $\triangle COK$, $\triangle COD$, $\triangle DOM$, $\triangle EDN$, $\triangle ECK$ и $\triangle ECD$. Центральные углы $\angle COK$, $\angle COD$ и $\angle KOD$ численно равны соответствующим им дугам $a$, $b$ и $c$. Угол $A$ сферического треугольника $ABC$ равен двугранному углу $\angle CDE$; точно так же равны между собою угол $B$ сферического треугольника $ABC$ и плоский угол $\angle CKE$.

Определим длину отрезка $EC$ из треугольников $ECK$ и $ECD$:

Приравнивая между собой правые части этих двух выражений, можно получить первую из следующей группы формул²:

Перегруппировав члены в последних формулах, получим, что во всяком сферическом треугольнике отношения синусов сторон равны отношениям синусов противолежащих им углов. Формулы (17) называются формулами синусов для сферического треугольника.

Воспользуемся очевидным равенством (см. рис. 4):

Выразим отрезки $OK$, $OM$ и $MK$ через тригонометрические функции углов и сторон треугольников $\triangle KOC$, $\triangle MOD$, $\triangle DOC$, $\triangle NDE$ и $\triangle ECD$, а именно:

Подставив полученные произведения вместо $OK$, $OM$ и $MK$, получим первую формулу группы³:

Иначе говоря, во всяком сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними. Формулы (19) называются формулами косинусов сторон сферического треугольника.

² Последние две формулы написаны по аналогии: они получаются при условии, если треугольник, подобный $EDN$, будет построен последовательно в плоскостях $OBC$ и $OAC$.

³ Здесь вторая и третья строки выводятся аналогично первой.

Если применим группу формул (19) к треугольнику, полярному с данным, имеющему, как известно, стороны $180^\circ-A$, $180^\circ-B$ и $180^\circ-C$ и углы $180^\circ-a$, $180^\circ-b$ и $180^\circ-c$, то получим формулы косинусов углов:

т.е. во всяком сферическом треугольнике косинус угла равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратным знаком, плюс произведение синусов этих углов, умноженное на косинус стороны между ними.

Напишем еще одно очевидное равенство:

Так как

то имеем

Точно так же справедливо:

т.е. во всяком сферическом треугольнике произведение синуса стороны на косинус прилежащего к ней угла равно произведению косинуса на синус двух других сторон, минус произведение синуса и косинуса этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними.

На основании соотношений (16) для взаимно полярных треугольников получаем группу формул:

Системы формул (22), (23), (24) называется формулами пяти элементов для сферического треугольника.

Рассмотрим сферический треугольник, у которого вершинами являются: зенит места наблюдения, полюс мира и светило. Последний традиционно называется параллактическим треугольником. Здесь дуга небесного меридиана между полюсом $P_n$ и зенитом $Z$ равна $90^\circ-\varphi$. Другая сторона – полярное расстояние светила $C$ равна $90^\circ-\delta$, и дуга третьей стороны равна зенитному расстоянию светила $z$.

Если светило находится к западу от небесного меридиана, то угол при полюсе – часовой угол светила $t$, угол при зените – $180^\circ-A$. Угол $q$ при светиле называется параллактическим углом.

С использованием формул сферической тригонометрии (17), (19) и (22) для параллактического треугольника можно записать формулы связи горизонтальной и первой экваториальной системы координат:

Формулы обратной связи:

а. Зная $h_\odot$ (при чем $z_\odot=90^\circ-h_\odot$) и $\delta_\odot$ светила, можно однозначно определить $A_\odot$ светила с помощью (26.с):

Уравнению (27) будут удовлетворять два корня $A_\odot^{(1)}$, $A_\odot^{(2)}$, удовлетворяющие условиям:

Учет явления рефракции позволяет модифицировать формулу (27) к виду:

Здесь учтено, что поправка за рефракцию для видимой высоты $h_\odot=0^\circ\leftrightarrow\delta h=35'$. С использованием формулы (28) азимуты точек восхода и захода светила:

Учитывая, что склонение Солнца в течении года изменяется в пределах интервала:

то согласно (29), получаем интервал

На рис. 7.а) представлен график зависимости $A_{dec}(\delta_\odot)$ на интервале (30). Очевидно, что азимут точки захода Солнца, с ростом его склонения, растет по квазилинейному закону.

б. Вычислим производную от $A_{dec}$ по времени, с использованием (29):

Для определения производной $d\delta_\odot/dt$ рассмотрим сферический треугольник, образованный небесным экватором, эклиптикой и кругом склонения Солнца (см. рис. 8). Воспользуемся теоремой синусов для этого треугольника:

здесь $\delta_\odot$ – склонение Солнца, $\varepsilon=23^\circ26'$ – угол между экватором и эклиптикой; $\ell$ – эклиптическая долгота светила, отсчитываемая относительно точки равноденствия (♈). Можно полагать, что долгота Солнца изменяется равномерно с течением времени $t$, следовательно

здесь $T_\odot$ – тропический год. Для полноты анализа поведения искомых величин на рис. 7.б) представлен график зависимости склонения Солнца от времени (в долях тропического года).Из (33)-(34) следует, что

На рис. 7.в) представлен график зависимости скорости изменения склонения Солнца от времени (в долях тропического года). Очевидно, что модуль искомой величины достигает максимального значения в дни равноденствий и составляет $0.4$ град/сут.

В итоге скорость изменения азимута точки захода Солнца за горизонт представляется в виде:

в. На рис. 7.г) представлен график зависимости скорости изменения азимута точки захода Солнца от времени (в долях тропического года). Очевидно, что модуль искомой величины достигает максимального значения в дни равноденствий и составляет $0.65$ град/сут. Минимальное значение модуль данной величины достигает в дни солнцестояний.

Ответ: к задаче представлен выражениями (31), (36); модуль искомой величины достигает максимального значения в дни равноденствий и составляет $0.65$ град/сут. Минимальное значение модуль данной величины достигает в дни солнцестояний. (11 баллов).