Съдържание

Самара 2021, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 12. Твоя математическая модель неогригорианского календаря

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 — сезон2020–2021, тур№1,7–9классы · 15 октомври 2020 г. · 15 т.

Исходное издание и сезон

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ОТКРЫТАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №1. Самара, 2020 г.

Исходные общие указания

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №1 на проверку: 15.10.2020-30.11.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылки исходного выпуска

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-tasks

«Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Условие

Предложите свою оригинальную модель исчисления больших промежутков времени (назовем ее «неогригорианский календарь»), которая

1 Базируется на принципах летоисчисления григорианского календаря и является ее минимальной модификацией.

2 Включает в себя не более трех независимых циклов.

3 Точность календаря должна определяться погрешностью, которая должна быть не более 1 суток, набегающих за 100 тыс. лет.

4 Определите среднюю продолжительность года в вашем календаре и погрешность в долях суток, а также в часах, минутах и секундах, набегающих в нем за один календарный год.

Решение

Будем полагать, что "неогригорианский календарь" содержит лишь обычные (365 сут.) и високосные годы (366 сут.) и его малый цикл $T_1$ по-прежнему равен 4 года. Пусть самый большой цикл этого календаря есть $T_n$ , где $n$ может быть равно 2 или 3 (подлежит определению). Пусть $x$ – количество високосных лет в цикле $T_n$ , тогда средняя продолжительность года в таком календаре есть

\bar T_k=\frac{365(T_n-x)+366x}{T_n}=365+\frac{x}{T_n}.\qquad (44)

Следовательно, погрешность, набегающая в календаре за 1 год есть

T_k=|T_{\text{тр}}-T_k|=\left|\frac{x}{T}-0.2421896698\right|,\qquad (45)

здесь учтено, что $T_{\text{тр}}=365.2421896698$ сут – продолжительность тропического года. Следовательно количество лет, за которое набегает погрешность в одни сутки есть

\chi=\frac{1}{\Delta T}=\frac{1}{\left|\frac{x}{T}-0.2421896698\right|}\ge10^5\text{ лет/сут}.

Будем полагать далее, что первое слагаемое в знаменателе последнего выражения больше второго. Рассмотрим последнее неравенство в предельном случае, тогда

\frac{1}{\frac{x}{T}-0.2421896698}=10^5,\quad\Rightarrow\qquad (46)

\frac{x}{T}=0.2421996698,\quad\Rightarrow\quad\frac{T}{x}=4.128824787.\qquad (47)

Заметим также, что (46) можно записать иначе

\frac{T}{x-0.2421896698\,T}=\frac{10^5\text{ лет}}{1\text{ сут}}.\qquad (48)

Из последнего выражения следует, что $T$ и $x$ имеют порядок $10^5$ лет, следовательно (47) можно представить так

\frac{T}{x}=\frac{412882.4787\text{ лет}}{100000\text{ лет}}\approx\frac{412900}{100000}.\qquad (49)

Если бы каждый 4-ый год был бы високосным, как в Юлианском календаре, то данное отношение ( $T/x$ ) было бы равно 4:1 или 400000 лет:10000 лет, однако в нашем случае наблюдается избыток $\tau=12900$ лет, т.о., не каждый 4-ый год может быть високосным. Найдем отношение

\frac{T}{\tau}=\frac{412900\text{ лет}}{12900\text{ лет}}=32.007752\approx32.\qquad (50)

Т.о., появляется в искомом календаре 2-ой цикл продолжительностью $T_2=32$ года (здесь каждый 32-ой год не високосный) и третий – $T_3=412900$ лет.

Определим среднюю продолжительность года в новом календаре:

\bar T_k=\frac{365\cdot312900+366\cdot100000}{412900}=365.242189392\text{ сут}.\qquad (51)

Вычислим погрешность календаря, набегающую за 1 год:

\Delta T_k=|\bar T_k-T_{\text{тр}}|=2.778\cdot10^{-6}\text{ сут/год}=0.240\text{ с/год}.\qquad (52)

Погрешность, набегающая в данном календаре в одни сутки есть

\chi=\frac{1}{|\Delta T|}=359971\text{ лет/сут}.\qquad (53)

Последний результат удовлетворяет главному требованию, выдвигающемуся к новому календарю. Следовательно, предложенная модель календаря является приемлемой.

Ответ: (15 баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 12 задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: сезон и источник

Заголовки выпуска называют олимпиаду2021, обложки печатают сезон2020–2021 и «Самара,2020г.», памятка указывает прием решений15.10.2020–30.11.2020. Год2021 относится к названию сезона; печатные2020даты сохранены. УровеньА содержит шесть самостоятельных задач, уровеньB — еще шесть. Архивный ключ содержит все12решений и повторяет условия и справочное приложение. Отдельные печатные ошибки оставлены в тексте с явно обозначенными примечаниями. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в этом выпуске нет.

Примечание читателя к задаче №1

значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче №3

названия аппаратов и утверждение о малой окрестности Солнца воспроизводят текст ключа этого сезона; современные сведения не подставлены вместо исходного ответа.

Примечание читателя к задаче №6

в знаменателе формулы (8) исходно напечатано $\bar T_J$ , а не $\Delta\bar T_J$ ; численный ответ и буквальный знаменатель сохранены вместе.

Примечание читателя к задаче №8

в формуле (17) второй индекс исходно напечатан как $b'$ ; он сохранен, хотя ранее верхняя точка обозначена $t$ .

Примечание читателя к задаче №9

в строке после (29) напечатано $\alpha_{\min}$ ; описание $x_{\min}^{(2)}=\kappa h$ как точки минимума и формулы (29)-(30) сохранены буквально.

Примечание читателя к задаче №10

в подписи рис. 10 исходно напечатано «Солнца», хотя условие и расчет относятся к восходу Луны; подпись сохранена.

Примечание читателя к задаче №11

в исходном условии два разных запроса подряд обозначены «а)», затем «б)»; в ключе идут «а), б), в)». В (35) исходно напечатана степень 2 у отношения радиусов, хотя далее стоит показатель $3/2$ ; ссылка «Из интервала (35)» также сохранена.

Примечание читателя к задаче №12

ключ печатает $T_k$ в левой части (45), в сравнении с юлианским календарем написано «400000 лет:10000 лет». Числа (51)-(53) и утверждения о циклах воспроизведены без замены или дописанного алгоритма календаря.

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf