Съдържание

Самара 2021, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 11. Короткопериодическая комета и ее орбитальные характеристики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 — сезон2020–2021, тур№1,7–9классы · 15 октомври 2020 г. · 14 т.

Исходное издание и сезон

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ОТКРЫТАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №1. Самара, 2020 г.

Исходные общие указания

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №1 на проверку: 15.10.2020-30.11.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылки исходного выпуска

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-tasks

«Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Условие

Определите, в случае короткопериодической кометы, интервал допустимых значений для ее: а) сидерического периода обращения вокруг Солнца, а) эксцентриситета, б) гелиоцентрического расстояния. Между орбитами каких классических планет может, в принципе, располагаться ее афелий, в случае максимально допустимого значения ее сидерического периода? Чему при этом равны значения ее скорости (представленные интервалами) в афелии и перигелии?

Решение

а) Как известно, короткопериодической кометой (КПК) называется комета, сидерический период которой не превосходит 200 лет. Нижняя граница для сидерического периода кометы не может быть меньше периода обращения спутника Солнца, движущегося по круговой орбите у его поверхности. Определим последний с использованием 3-го закона Кеплера:

\left(\frac{T_{\min}}{T_\oplus}\right)^2=\left(\frac{\mathfrak R_\odot}{a_\oplus}\right)^2,\quad\Rightarrow\quad T_{\min}=T_\oplus\left(\frac{\mathfrak R_\odot}{a_\oplus}\right)^{3/2}=2.78\text{ часа},\qquad (35)

здесь $a_\oplus$ , $T_\oplus$ – большая полуось и сидерический период обращения Земли вокруг Солнца.

Тогда искомый интервал допустимых значений для сидерического периода есть

2.78\text{ часа}\le T_c\le200\text{ лет}.\qquad (36)

б) Для определения ИДЗ эксцентриситета КПК заметим, что в случае очень вытянутого эллипса (в пределе вырождающегося в прямую), эксцентриситет стремится к своему максимальному значению 1. Очевидно перигелийное расстояние не может быть меньше радиуса Солнца, тогда

q=\mathfrak R_\odot=a_c(1-\varepsilon_c),\quad\Rightarrow\quad\varepsilon_c=1-\frac{\mathfrak R_\odot}{a_c}.\qquad (37)

Из интервала (35) и 3-го закона Кеплера, следует ИДЗ для большой полуоси орбиты кометы:

\mathfrak R_\odot\le a_c\le34.2\text{ а.е}.\qquad (38)

Следовательно ИДЗ для эксцентриситета есть

0\le\varepsilon_c\le0.99986.\qquad (39)

в) Тогда ИДЗ для гелиоцентрического расстояния кометы есть

a_c(1-\varepsilon_c)\le r_c\le a_c(1+\varepsilon_c),\quad\text{или }\mathfrak R_\odot\le r_c\le68.4\text{ а.е}.\qquad (40)

Поскольку афелий при $T=200$ лет может лежать в интервале:

34.2\text{ а.е.}\le Q\le68.4\text{ а.е.},\qquad (41)

то его возможные позиции расположены за орбитой Нептуна. Скорости в афелии и перигелии представляется формулами вида:

V_Q=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}{a_{\max}}\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)},\quad V_q=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}{a_{\max}}\left(\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)}.\qquad (42)

Тогда ИДЗ для данных параметров есть

0.043\text{ км/с}\le V_Q\le5.09\text{ км/с};\quad5.09\text{ км/с}\le V_q\le617.79\text{ км/с}.\qquad (43)

Ответ: к задаче представляется выражениями (36), (38), (39), (40), (41), (43), за орбитой Нептуна. (14 баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 12 задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: сезон и источник

Заголовки выпуска называют олимпиаду2021, обложки печатают сезон2020–2021 и «Самара,2020г.», памятка указывает прием решений15.10.2020–30.11.2020. Год2021 относится к названию сезона; печатные2020даты сохранены. УровеньА содержит шесть самостоятельных задач, уровеньB — еще шесть. Архивный ключ содержит все12решений и повторяет условия и справочное приложение. Отдельные печатные ошибки оставлены в тексте с явно обозначенными примечаниями. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в этом выпуске нет.

Примечание читателя к задаче №1

значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче №3

названия аппаратов и утверждение о малой окрестности Солнца воспроизводят текст ключа этого сезона; современные сведения не подставлены вместо исходного ответа.

Примечание читателя к задаче №6

в знаменателе формулы (8) исходно напечатано $\bar T_J$ , а не $\Delta\bar T_J$ ; численный ответ и буквальный знаменатель сохранены вместе.

Примечание читателя к задаче №8

в формуле (17) второй индекс исходно напечатан как $b'$ ; он сохранен, хотя ранее верхняя точка обозначена $t$ .

Примечание читателя к задаче №9

в строке после (29) напечатано $\alpha_{\min}$ ; описание $x_{\min}^{(2)}=\kappa h$ как точки минимума и формулы (29)-(30) сохранены буквально.

Примечание читателя к задаче №10

в подписи рис. 10 исходно напечатано «Солнца», хотя условие и расчет относятся к восходу Луны; подпись сохранена.

Примечание читателя к задаче №11

в исходном условии два разных запроса подряд обозначены «а)», затем «б)»; в ключе идут «а), б), в)». В (35) исходно напечатана степень 2 у отношения радиусов, хотя далее стоит показатель $3/2$ ; ссылка «Из интервала (35)» также сохранена.

Примечание читателя к задаче №12

ключ печатает $T_k$ в левой части (45), в сравнении с юлианским календарем написано «400000 лет:10000 лет». Числа (51)-(53) и утверждения о циклах воспроизведены без замены или дописанного алгоритма календаря.

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf