Съдържание

Самара 2021, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 9. Ночной дайвинг и свет, уходящий в небо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 — сезон2020–2021, тур№1,7–9классы · 15 октомври 2020 г. · 14 т.

Исходное издание и сезон

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ОТКРЫТАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №1. Самара, 2020 г.

Исходные общие указания

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №1 на проверку: 15.10.2020-30.11.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылки исходного выпуска

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-tasks

«Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Условие

Как известно, ночной дайвинг открывает широкие возможности наблюдения за жизнью океана в темное время суток. Для обеспечения связи с надводным катером, дайвер с большой глубины $h$ подает регулярно сигналы-вспышки с помощью компактного сферического фонаря с мощностью излучения $P$ в оптическом диапазоне. Однако не весь свет фонаря, излучаемый в направлении поверхности воды, вырывается в атмосферу. Почему? Определите, интенсивность света, создаваемую фонарем у поверхности воды, как функцию угла $\alpha$ (угла между направлением на точку наблюдения у поверхности воды с позиции дайвера и его отвесной линией). Следует полагать, что интенсивность света, поглощенного водой, прямо пропорциональна толще воды, которую преодолел свет (следует считать известным коэффициент поглощения света ( $\kappa$ ), размерность которого $\text{м}^{-1}$ ) и исходной интенсивности света (без учета поглощения света). Чему равен диаметр светового пятна на поверхности воды (в штиль)? Чему равен телесный угол (с позиции дайвера), в который попадают световые лучи, уходящие в небо?

Решение

Дано: $h$ , $P$ , $\kappa$ .

Найти: $I(\alpha)$ – ? $D$ – ? $\Omega$ – ?

Рассмотрим рис. 9, соответствующий условиям задачи. Здесь в точке $O$ находится дайвер, $OA$ – его отвесная линия, $BD$ – диаметр светового пятна, видимого с позиции дайвера, в пределах которого свет "вырывается" в атмосферу. Свет, распространяющийся вне конуса $BOD$ , не выходит в атмосферу, поскольку распространяется из более плотной среды (вода) в менее плотную среду (воздух) и, в силу полного внутреннего отражения, обратно уходит на глубину. Действительно, при таком ходе светового луча возникает феномен полного внутреннего отражения. Покажем это, используя закон Снеллиуса:

Рис. 9: к определению положения дайвера и светового пятна.

\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{n_a}{n_w},\qquad (23)

здесь $\alpha$ – угол падения светового луча на границу "вода-воздух", $\beta$ – угол преломления на той же границе; $n_a\approx1$ – показатели преломления воздуха; $n_w=4/3$ – показатель преломления воды. Поскольку $n_w>n_a$ , то $\alpha$ всегда меньше $\beta$ . При $\beta=90^\circ$ свет уже не выходит в атмосферу, при этом

\sin\alpha_{\max}=\frac{n_a}{n_w},\quad\Rightarrow\quad\alpha_{\max}=\arcsin\left(\frac{n_a}{n_w}\right)=48.6^\circ,\qquad (24)

здесь $\alpha_{\max}$ – максимальное значение угла падения, начиная с которого, свет уже не проходит указанную границу и возвращается обратно в воду.

Диаметр светового пятна $BD=D$ определим как

D=2h\operatorname{tg}\alpha_{\max}=2h\frac{\sin\alpha_{\max}}{\cos\alpha_{\max}}=2h\frac{n_a}{\sqrt{n_w^2-n_a^2}}=\frac{2h}{\sqrt{n_w^2-1}}=2.27h.\qquad (25)

Телесный угол (с позиции дайвера), в который попадают лучи, уходящие в небо, есть

\Omega=2\pi(1-\cos\alpha_{\max})=2.127\text{ срад}=6983\text{ кв. град}.\qquad (26)

Если бы в воде не было поглощения, то интенсивность света в точке $C$ (см. рис. 9) была бы

I_C^{(0)}=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{P\cos^2\alpha}{4\pi h^2},\qquad (27)

здесь $r=OC=h/\cos\alpha$ – расстояние от дайвера до точки поверхности воды $C$ . Интенсивность света, поглощенного водой (в режиме слабого поглощения света), будет

I_{\mathrm{abs}}=\kappa rI_C^{(0)}=\frac{\kappa h}{\cos\alpha}I_C^{(0)}.\qquad (28)

Тогда итоговая интенсивность в точке $C$ будет

I_C=I_C^{(0)}-I_{\mathrm{abs}}=\frac{P\cos^2\alpha}{4\pi h^2}\left(1-\frac{\kappa h}{\cos\alpha}\right)=\frac{P}{4\pi h^2}(x^2-\kappa hx),\quad\text{где }x=\cos\alpha,\qquad (29)

причем $x>x_{\min}^{(1)}=\cos\alpha_{\min}=0.66$ . Т.о., интенсивность света изменяется по параболическому закону относительно $x$ .

Заметим, что может реализоваться и другой случай, когда $x_{\min}^{(1)}<x_{\min}^{(2)}$ , здесь $x_{\min}^{(2)}=\kappa h<1$ – точка минимума интенсивности света, согласно (29). В этом случае диаметр пятна и телесный угол будут равны:

D=2h\operatorname{tg}\alpha_{\max}^{(2)}=2\frac{\sqrt{1-(\kappa h)^2}}{\kappa},\quad\Omega=2\pi(1-\kappa h).\qquad (30)

Ответ: к задаче представлен выражениями (25)-(26), (29)-(30). (14 баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем 12 задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: сезон и источник

Заголовки выпуска называют олимпиаду2021, обложки печатают сезон2020–2021 и «Самара,2020г.», памятка указывает прием решений15.10.2020–30.11.2020. Год2021 относится к названию сезона; печатные2020даты сохранены. УровеньА содержит шесть самостоятельных задач, уровеньB — еще шесть. Архивный ключ содержит все12решений и повторяет условия и справочное приложение. Отдельные печатные ошибки оставлены в тексте с явно обозначенными примечаниями. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в этом выпуске нет.

Примечание читателя к задаче №1

значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче №3

названия аппаратов и утверждение о малой окрестности Солнца воспроизводят текст ключа этого сезона; современные сведения не подставлены вместо исходного ответа.

Примечание читателя к задаче №6

в знаменателе формулы (8) исходно напечатано $\bar T_J$ , а не $\Delta\bar T_J$ ; численный ответ и буквальный знаменатель сохранены вместе.

Примечание читателя к задаче №8

в формуле (17) второй индекс исходно напечатан как $b'$ ; он сохранен, хотя ранее верхняя точка обозначена $t$ .

Примечание читателя к задаче №9

в строке после (29) напечатано $\alpha_{\min}$ ; описание $x_{\min}^{(2)}=\kappa h$ как точки минимума и формулы (29)-(30) сохранены буквально.

Примечание читателя к задаче №10

в подписи рис. 10 исходно напечатано «Солнца», хотя условие и расчет относятся к восходу Луны; подпись сохранена.

Примечание читателя к задаче №11

в исходном условии два разных запроса подряд обозначены «а)», затем «б)»; в ключе идут «а), б), в)». В (35) исходно напечатана степень 2 у отношения радиусов, хотя далее стоит показатель $3/2$ ; ссылка «Из интервала (35)» также сохранена.

Примечание читателя к задаче №12

ключ печатает $T_k$ в левой части (45), в сравнении с юлианским календарем написано «400000 лет:10000 лет». Числа (51)-(53) и утверждения о циклах воспроизведены без замены или дописанного алгоритма календаря.

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-1]_7-9 classes.pdf