Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №3. «Третья космическая скорость КА»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 5 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

Получите аналитическое выражение и численное значение для третьей космической скорости – минимальной скорости, которую необходимо придать находящемуся вблизи поверхности Земли космическому аппарату (КА), чтобы он мог преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы. (5 баллов).

Решение

Задача №3. «Третья космическая скорость КА» Решение.

Чтобы КА смог покинуть Солнечную систему необходимо, чтобы на орбите Земли, вдали от последней, его полная механическая энергия в поле тяготения Солнца была равна нулю:

\frac{mV_0^2}2-\frac{Gm\mathfrak M_\odot}{a_\oplus}=0,\quad\Rightarrow V_0^2=\frac{2G\mathfrak M_\odot}{a_\oplus}\qquad (8)

здесь $\mathfrak{M}_{\oplus}$ – масса Солнца, $a_{\oplus}$ – большая полуось земной орбиты. При этом относительно Земли скорость КА будет минимальна в случае, когда он будет удаляться от планеты в направлении ее движения, тогда

V_{rel}=V_0-V_\oplus=\sqrt{\frac{2G\mathfrak M_\odot}{a_\oplus}}-\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}{a_\oplus}}=(\sqrt2-1)V_\oplus\qquad (9)

здесь учтено, что орбитальная скорость Земли есть

V_\oplus=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}{a_\oplus}}=29.78\text{ км/с}.\qquad (10)

Согласно закону сохранения энергии, энергия КА (относительно Земли) вблизи ее поверхности и вдали от нее равны, т.е.

\begin{aligned}\frac{mV_{III}^2}2-\frac{Gm\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus}&=\frac{mV_{rel}^2}2,\quad\Rightarrow V_{III}^2=V_{rel}^2+\frac{2G\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus}=(\sqrt2-1)^2V_\oplus^2+V_{II}^2,\\\Rightarrow V_{III}&=\sqrt{(\sqrt2-1)^2V_\oplus^2+V_{II}^2}=16.65\text{ км/с}.\end{aligned}\qquad (11)

Здесь учтено, что вторая космическая скорость КА у поверхности Земли есть

V_{II}=\sqrt{\frac{2G\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus}}\qquad (12)

где $\mathfrak{M}_{\oplus}, \mathfrak{R}_{\oplus}$ – масса и радиус Земли. Ответ:

к задаче представляется выражением (11) (5 баллов).

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf