Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №6. «Морозко: запуск на геоцентрическую орбиту»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

В советской сказке "Морозко" один из ее главных героев, Иван, в сцене нападения на него лесных разбойников метнул несколько дубинок в небо. Прошло ровно полгода и разбойники вновь напали на Ивана и его невесту, Настеньку. Во время нападения дубинки упали на головы разбойникам и помогли Ивану справиться с последними. Полагая, что все время полета дубинки двигались вокруг Земли по эллиптической (геоцентрической) орбите, определите,

1 Минимальное значение эксцентриситета такой орбиты. (2 балла)

2 Большую полуось орбиты. (2 балла)

3 Значения скорости в перигее и апогее. (4 балла)

4 Расстояние до апогея. (2 балла)

Сопротивлением воздуха, гравитационными возмущениями кеплеровой орбиты от прочих тел пренебречь.

Решение

Задача №6. «Морозко: запуск на геоцентрическую орбиту»

Решение:

Рассмотрим рис. 8, соответствующий условиям задачи. Предположим, что дубинки брошены Иваном из точки $S$ . В силу симметрии положения эллиптической орбиты относительно прямой $AP$ , точка падения на Землю будет $F$ , а перигелий орбиты лежит в теле Земли, в точке $P$ . Поскольку период обращения дубинок очень близок к $T_{\oplus}/2$ , где $T_{\oplus}$ – звездный год Земли, то можно определить большую полуось данной эллиптической орбиты с использованием третьего закона Кеплера.

\left(\frac a{a_{\text{☾}}}\right)^3=\left(\frac T{T_{\text{☾}}}\right)^2,\quad\Rightarrow a=a_{\text{☾}}\left(\frac{T_\oplus}{2T_{\text{☾}}}\right)^{2/3}=1.364\cdot10^5\text{ км}.\qquad (20)

Как известно, расстояние орбиты $q$ можно записать так

q=a(1-\varepsilon),\quad\Rightarrow\varepsilon=1-\frac qa.\qquad (21)

Чтобы последняя величина была минимальной, необходимо чтобы $q$ принимало максимальное значение. Из рисунка видно, что $q \le \mathfrak{R}_{\oplus}$ , тогда точки старта $(S)$ и падения дубинок $(F)$ должны совпадать с точкой $B$ . Из (21) следует, что

\varepsilon_{\min}=1-\frac{\mathfrak R_\oplus}a=0.9953\qquad (22)

Следовательно, расстояние до апогея можно записать так

Q=a(1+\varepsilon_{\min})=2.722\cdot10^5\text{ км}.\qquad (23)

Скорость дубинок в перигее и апогее орбиты есть

V_q=\sqrt{\left(\frac{G\mathfrak M_\oplus}a\right)\left(\frac{1+\varepsilon_{\min}}{1-\varepsilon_{\min}}\right)}=V_I\sqrt{1+\varepsilon_{\min}}=11.17\text{ км/с}\qquad (24)

V_Q=\sqrt{\left(\frac{G\mathfrak M_\oplus}a\right)\left(\frac{1-\varepsilon_{\min}}{1+\varepsilon_{\min}}\right)}=V_I\frac{1-\varepsilon_{\min}}{\sqrt{1+\varepsilon_{\min}}}=0.026\text{ км/с}=26\text{ м/с}\qquad (25)

V_I=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus}}=7.909\text{ км/с},\quad q=a(1-\varepsilon_{\min})=\mathfrak R_\oplus.\qquad (26)

В выражениях (24) и (25) $V_I$ – первая космическая скорость у поверхности Земли.

Ответ:

к задаче представляется формулами (20), (22)-(25). (10 баллов).

Весь исходный геоцентрический эллипс, вся Земля, F/S/B/P/A/O, оба расстояния q/Q и стрелки — Рис. 8: к определению геоцентрической орбиты дубинок.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf