Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 7–9 клас — Задача 12. Газовое облако G2 и Sgr A*

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — сезон2020–2021, тур№2,7–9классы · 15 февруари 2021 г. · 15 т.

Исходная обложка

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН:2020-2021, ТУР№2. Самара,2021г.

Исходные указания, авторство и обязательная ссылка

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №2». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021:

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021–30.03.2021!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

В 2019 году группа астрофизиков из института Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе объявили о наблюдении небывалой прежде вспышки в центре нашей Галактики, в окрестности сверхмассивной черной дыры (СМЧД) Стрелец A* (Sgr A*). По предположению ученых вспышка могла быть вызвана падением на СМЧД части газового облака G2, движущуюся в окрестности Sgr A* (см. рис. 3). С использованием условий и результатов решений задач № 10-11 настоящего релиза, оцените

Рис. 3: к иллюстрации движений облака G2 в окрестности СМЧД Sgr A* (авторы изображения: M. Schartmann and L. Calçada).

1 Минимальное время вспышки. [6 т.]

2 Скорость и период обращения потоков газа в момент, когда они пересекали горизонт событий Sgr A*. Следует полагать, что газ падал на СМЧД по плотно закрученной спирали и совершил большое количество витков до падения. [4 т.]

3 Вычислите температуру СМЧД, если ее светимость хокинговского излучения определяется формулой:

L_{\rm BH}=\frac{\hbar c^6}{15360\pi G^2\mathfrak M_{\rm BH}^2},\qquad (1)

здесь $\hbar=1.055\cdot10^{-34}$ Дж·с – постоянная Планка, $c$ – скорость света в вакууме, $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak M_{\rm BH}$ – масса черной дыры. [5 т.]

Решение

Для определения минимальной продолжительности вспышки в центре нашей Галактики, заметим, что она обусловлена падением газа облака G2 по периметру (экватору) СМЧД, и следовательно можно считать, что вспышка возникла одновременно во всех точках ее поверхности. Однако в силу больших размеров СМЧД свет вспышки придет к наблюдателю неодновременно (см. рис. 7). Сначала земной наблюдатель увидит свет, пришедший из точки $B$ , затем свет придет от всех точек дуг экватора $AB$ и $BC$ и последними лучами, достигшими земного наблюдателя будут лучи из точек $A$ и $C$ . Очевидно, при этом освещенность будет постоянно увеличиваться и время от начала вспышки до ее максимальной фазы составит

Рис. 7: к определению минимального времени вспышки.

t=\frac{\mathfrak R_{\rm BH}}c=\frac{2G\mathfrak M_{\rm BH}}{c^3}=35.4\text{ с}.\qquad (59)

Указанный промежуток времени и будет минимальной продолжительностью вспышки.

Поскольку газ падал на СМЧД по плотно закругленной спирали, то каждый ее виток можно рассматривать как дугу окружности и следовательно для порции газа, массы $\Delta m$ , падающего на СМЧД можно записать 2-ой закон Ньютона:

\Delta m\frac{V_f^2}{r}=\frac{G\Delta m\,\mathfrak M_{\rm BH}}{r^2}, \quad\Rightarrow\quad V_f^2=\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}}r,\quad\text{при }r=\mathfrak R_{\rm BH},\quad\Rightarrow

V_f^2=\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}}{\mathfrak R_{\rm BH}}=\frac{c^2}2, \quad\Rightarrow\quad V_f=\frac c{\sqrt2}=2.12\cdot10^8\text{ м/с},\qquad (60)

здесь учтено, что радиус горизонта событий СМЧД определяется формулой Шварцшильда (47). Важно отметить, что результат (60) следует рассматривать лишь как оценочный, поскольку механика Ньютона не дает точных результатов в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Следовательно, период обращения потоков газа есть

T=\frac{2\pi\mathfrak R_{\rm BH}}{V_f} =\frac{4\pi G\mathfrak M_{\rm BH}}{c^3}\sqrt2=314\text{ с}.\qquad (61)

Как известно, светимость самосветящегося сферического объекта радиуса $\mathfrak R$ и температуры поверхности $T$ представляется формулой:

L=4\pi\mathfrak R^2\sigma T^4,

где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана. Приравнивая последний результат к (1), в итоге получаем

4\pi\mathfrak R^2\sigma T^4 =\frac{\hbar c^6}{15360\pi G^2\mathfrak M_{\rm BH}^2},\quad\Rightarrow

T_{\rm BH}=\frac{c^2}{8G\mathfrak M_{\rm BH}} \sqrt[4]{\frac{\hbar c^2}{60\pi^2\sigma}} =1.72\cdot10^{-14}\text{ K}.\qquad (62)

Ответ: к задаче представляется выражениями (59)-(62). (15 баллов)

Общее справочное приложение A.1–A.10

Полные исходные справочные страницы24–31 доступны после условия задачи1; они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительными задачами.

Примечание читателя: исходный единый выпуск

Один архивный PDF Decisions содержит полный раздел условий страниц4–8, полные решения12задач страниц10–22 и справочное приложение24–31. Отдельного файла условий в полной текущей папке нет; условия из самого выпуска сохранены. УровеньА — задачи1–6, уровеньB —7–12; все38печатных нумерованных запросов сохранены внутри своих задач. Авторство и обязательная ссылка исходного выпуска сохранены; происхождение именно этих архивных байтов от организатора независимо не установлено, решения атрибутированы архиву. Сезон2020–2021 и Самара2021 сохранены. Печатные численные/обозначительные ошибки отдельно отмечены; они не исправлены молча. В справочных данных сидерический период Луны в A.4 —27.32162сут, в A.8 —27.32166сут; оба исходных числа доступны. Песенных/стихотворных материалов в полном31-страничном оригинале нет.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf