Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 7–9 клас — Задача 11. Предел Роша для S2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — сезон2020–2021, тур№2,7–9классы · 15 февруари 2021 г. · 14 т.

Исходная обложка

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН:2020-2021, ТУР№2. Самара,2021г.

Исходные указания, авторство и обязательная ссылка

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №2». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021:

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021–30.03.2021!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

С использованием данных и результатов решения предыдущей задачи, определите,

1 Среднюю массовую плотность сверхмассивной черной дыры (СМЧД) Sgr A*. [4 т.]

2 Среднюю массовую плотность звезды S2, если известно, что последняя относится к горячим звездам главной последовательности, спектрального класса B0, с массой $\mathfrak M_*=15\mathfrak M_\odot$ и радиусом $\mathfrak R_*=10\mathfrak R_\odot$ , где $\mathfrak M_\odot,\mathfrak R_\odot$ – масса и радиус Солнца. [2 т.]

3 Получите аналитическое выражение для предела Роша, в случае звезды S2. [6 т.]

4 Получите минимальные расстояния от предела Роша до орбиты звезды и до горизонта событий СМЧД. [2 т.]

Решение

Определим среднюю массовую плотность сверхмассивной черной дыры (СМЧД) Sgr A*:

\rho_{\rm BH}=\frac{\mathfrak M_{\rm BH}}{\frac43\pi\mathfrak R_{\rm BH}^3} =\frac{3c^6}{32\pi G^3\mathfrak M_{\rm BH}^2} =1.428\cdot10^6\text{ кг/м}^3,\qquad (53)

здесь в качестве радиуса СМЧД использовано выражение для радиуса горизонта событий, представленное в предыдущей задаче.

Вычислим среднюю массовую плотность звезды S2:

\rho_*=\frac{\mathfrak M_*}{\frac43\pi\mathfrak R_*^3} =0.015\cdot\frac{\mathfrak M_\odot}{\frac43\pi\mathfrak R_\odot^3} =0.015\rho_\odot=21.2\text{ кг/м}^3,\qquad (54)

где $\rho_\odot=1411$ кг/м $^3$ – средняя массовая плотность Солнца.

Далее получим аналитическое выражение для предела Роша, в случае звезды S2. В случае пребывания звезды на орбите на минимальном расстоянии от СМЧД, последняя должна еще сохранять свою целостность. Следовательно центростремительные ускорения для двух малых элементов тела звезды массы $\Delta m$ (самого близкого и самого далекого относительно Sgr A*) должны быть равны (см. рис. 6):

\left.\begin{aligned}\Delta m\,a&=F_A-F'_A\\\Delta m\,a&=F_B+F'_B\end{aligned}\right\} \quad\Rightarrow\quad F_A-F_B=2F'.\qquad (55)

Рис. 6: к определению сил, действующих на звезду S2 в поле тяготения СМЧД.

В выражениях (55) $F_A,F_B$ – силы притяжения, действующие со стороны СМЧД на малые элементы звезды, расположенные в точках $A$ и $B$ ее поверхности; $F'_A=F'_B=F'$ – силы притяжения, действующие на те же элементы со стороны самой звезды. Запишем (55) в явном виде:

\frac{G\Delta m\,\mathfrak M_{\rm BH}}{(r_s-\mathfrak R_*)^2} -\frac{G\Delta m\,\mathfrak M_{\rm BH}}{(r_s+\mathfrak R_*)^2} =\frac{2G\Delta m\,\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*^2},

здесь $\mathfrak M_{\rm BH},\mathfrak M_*$ – масса СМЧД и звезды соответственно; $r_s,\mathfrak R_*$ – искомое минимальное расстояние и радиус звезды соответственно. Последнее уравнение можно переписать в виде:

\frac1{(r_s-\mathfrak R_*)^2}-\frac1{(r_s+\mathfrak R_*)^2} =\frac{2\eta}{\mathfrak R_*^2},\quad\text{здесь }\eta=\frac{\mathfrak M_*}{\mathfrak M_{\rm BH}}.\qquad (56)

Поскольку $\mathfrak R_*\ll r_s$ , то можно воспользоваться приближением

(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x,\quad x\ll1,\quad\Rightarrow

\frac1{r_s^2}\left(1-\frac{\mathfrak R_*}{r_s}\right)^{-2} -\frac1{r_s^2}\left(1+\frac{\mathfrak R_*}{r_s}\right)^{-2} =\frac{2\eta}{\mathfrak R_*^2},\quad\Rightarrow

\frac1{r_s^2}\left(1+\frac{2\mathfrak R_*}{r_s}-1+\frac{2\mathfrak R_*}{r_s}\right) =\frac{2\eta}{\mathfrak R_*^2},\quad\Rightarrow\quad \frac{4\mathfrak R_*}{r_s^3}=\frac{2\eta}{\mathfrak R_*^2},\quad\Rightarrow\quad r_s=\mathfrak R_*\sqrt[3]{\frac2\eta}=

=\mathfrak R_*\sqrt[3]{\frac{2\mathfrak M_{\rm BH}}{\mathfrak M_*}} =\mathfrak R_{\rm BH}\sqrt[3]{\frac{2\rho_{\rm BH}}{\rho_*}} =783\mathfrak R_\odot=5.45\cdot10^8\text{ км}=3.640\text{ а.е.}\qquad (57)

Отметим, что последний результат определяет предел Роша – радиус круговой орбиты звезды, обращающейся вокруг СМЧД, на которой приливные силы, вызванные гравитацией СМЧД, равны силам самогравитации этой звезды.

Далее определим минимальные расстояния от данной круговой орбиты до орбиты звезды ( $r_{\min\,1}$ ) и до горизонта событий СМЧД ( $r_{\min\,2}$ ):

r_{\min\,1}=q-r_s=114-3.640=110.36\text{ а.е.},\quad r_{\min\,2}=r_s-\mathfrak R_{\rm BH}=3.569\text{ а.е.}\qquad (58)

Ответ: к задаче представляется выражениями (53)-(54), (57)-(58). (14 баллов)

Общее справочное приложение A.1–A.10

Полные исходные справочные страницы24–31 доступны после условия задачи1; они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительными задачами.

Примечание читателя: исходный единый выпуск

Один архивный PDF Decisions содержит полный раздел условий страниц4–8, полные решения12задач страниц10–22 и справочное приложение24–31. Отдельного файла условий в полной текущей папке нет; условия из самого выпуска сохранены. УровеньА — задачи1–6, уровеньB —7–12; все38печатных нумерованных запросов сохранены внутри своих задач. Авторство и обязательная ссылка исходного выпуска сохранены; происхождение именно этих архивных байтов от организатора независимо не установлено, решения атрибутированы архиву. Сезон2020–2021 и Самара2021 сохранены. Печатные численные/обозначительные ошибки отдельно отмечены; они не исправлены молча. В справочных данных сидерический период Луны в A.4 —27.32162сут, в A.8 —27.32166сут; оба исходных числа доступны. Песенных/стихотворных материалов в полном31-страничном оригинале нет.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf