Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 7–9 клас — Задача 10. Звезда S2, ее перицентр и Sgr A*

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — сезон2020–2021, тур№2,7–9классы · 15 февруари 2021 г. · 14 т.

Исходная обложка

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ. СЕЗОН:2020-2021, ТУР№2. Самара,2021г.

Исходные указания, авторство и обязательная ссылка

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7-9 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 7-9 классов. Тур №2». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021:

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021–30.03.2021!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Исходное напоминание участнику

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

Как известно, одной из самых тесно сближающихся звезд со сверхмассивной черной дырой (СМЧД) Стрелец A* (Sgr A*), расположенной в центре нашей Галактики (Млечный Путь), является звезда S2. Согласно самым точным современным оценкам, расстояние до центра Галактики составляет $7.94\pm0.42$ кпк, угловой размер большой полуоси эллиптической орбиты звезды – $(0.1203\pm0.0027)''$ , эксцентриситет орбиты оценивается интервалом $0.881\pm0.007$ , а период ее обращения вокруг СМЧД составляет $15.56\pm0.35$ лет. По этим данным определите среднее значение, абсолютную и относительную погрешность для

1 Большой полуоси орбиты звезды S2. [2 т.]

2 Расстояния до перицентра орбиты звезды. [2 т.]

3 Массы СМЧД. [2 т.]

4 Радиуса горизонта событий СМЧД. [2 т.]

5 Высоты перицентра орбиты звезды над горизонтом событий СМЧД. [1 т.]

6 Доли от скорости света, которую составляет максимальная скорость звезды. [3 т.]

7 Ускорения свободного падения в перицентре орбиты, создаваемое СМЧД. [2 т.]

Решение

Дано:

r=7.94\pm0.42\text{ кпк},\quad a''=(1.203\pm0.027)\cdot10^{-1}{}'',\quad \varepsilon=0.881\pm0.007,\quad T=15.56\pm0.35\text{ лет}.

Найти: $a,q,\mathfrak M_{\rm BH},\mathfrak R_{\rm BH},\eta,h,g$ – ?

Определим большую полуось орбиты S2:

\bar a=r\frac{a''}{206265''}=955\text{ а.е.}

Определим относительные погрешности определения известных параметров:

\left. \begin{aligned} \varepsilon_r&=\frac{\Delta r}{\bar r}100\%=5.29\%,& \varepsilon_{a''}&=\frac{\Delta a''}{\bar a''}100\%=2.24\%,\\ \varepsilon_\varepsilon&=\frac{\Delta\varepsilon}{\bar\varepsilon}100\%=0.79\%,& \varepsilon_T&=\frac{\Delta T}{\bar T}=2.25\% \end{aligned}\right\}.\qquad (40)

Опираясь на структуру формулы (40) относительная погрешность определения большой полуоси будет

\varepsilon_{\bar a}=\sqrt{\varepsilon_r^2+\varepsilon_{a''}^2}=5.74\%,\quad\Rightarrow\quad\bar a\pm\Delta a=955\pm55\text{ а.е.}\qquad (41)

Расстояние до перицентра есть

\bar q=\bar a(1-\bar\varepsilon)=114\text{ а.е.}

Погрешность определения $q$ :

\varepsilon_q=\sqrt{\varepsilon_a^2+\left(\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)^2\varepsilon_\varepsilon^2}=6.26\%,\quad\Rightarrow\quad \bar q\pm\Delta q=(114\pm7)\text{ а.е.}\qquad (42)

Для определения массы СМЧД воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера:

\frac{(\mathfrak M_{\rm BH}+\mathfrak M_*)T^2} {(\mathfrak M_\odot+\mathfrak M_\oplus)T_\oplus^2} =\frac{a^3}{a_\oplus^3},\qquad (43)

где $\mathfrak M_*,\mathfrak M_\odot,\mathfrak M_\oplus$ – массы звезды S2, Солнца и Земли соответственно, $T_\oplus,a_\oplus$ – сидерический период обращения и большая полуось орбиты Земли соответственно. Учитывая, что $\mathfrak M_{\rm BH}\gg\mathfrak M_*$ , $\mathfrak M_\odot\gg\mathfrak M_\oplus$ уравнение (43) можно переписать в виде:

\bar{\mathfrak M}_{\rm BH}= \left(\frac{\bar a}{a_\oplus}\right)^3 \left(\frac{T_\oplus}{\bar T}\right)^2\mathfrak M_\odot =3.60\cdot10^6\mathfrak M_\odot=7.16\cdot10^{36}\text{ кг}.\qquad (44)

Относительная погрешность определения $\mathfrak M_{\rm BH}$ есть

\varepsilon_{\mathfrak M_{\rm BH}}=\sqrt{9\varepsilon_a^2+4\varepsilon_T^2}=17.8\%,\quad\Rightarrow\qquad (45)

\bar{\mathfrak M}_{\rm BH}\pm\Delta\mathfrak M_{\rm BH} =(3.60\pm0.64)\cdot10^6\mathfrak M_\odot =(7.16\pm1.27)\cdot10^{36}\text{ кг}.\qquad (46)

Радиус горизонта событий СМЧД определяется формулой Шварцшильда:

\mathfrak R_{\rm BH}=\frac{2G\bar{\mathfrak M}_{\rm BH}}{c^2} =1.06\cdot10^{10}\text{ м}=0.071\text{ а.е.}=1.06\cdot10^7\text{ км}.

Относительная погрешность данной величины:

\varepsilon_{\mathfrak R_{\rm BH}}=\varepsilon_{\mathfrak M_{\rm BH}}=17.8\%,\quad\Rightarrow\quad \mathfrak R_{\rm BH}\pm\Delta\mathfrak R_{\rm BH}=(1.06\pm0.19)\cdot10^7\text{ км}.\qquad (47)

Как известно, скорость звезды в перицентре есть

V_q=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}}{a}\left(\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)} =\sqrt{\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}(1+\varepsilon)}{q}}.\qquad (48)

Тогда искомая доля будет

\eta=\frac{V_q}{c}=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}}{c^2q}(1+\varepsilon)}=0.0242,\quad\Rightarrow

\Delta\eta=\sqrt{\varepsilon_{\mathfrak M_{\rm BH}}^2+\varepsilon_q^2+ \left(\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)^2\varepsilon_\varepsilon^2} =18.9\%,\quad\Rightarrow\qquad (49)

\eta\pm\Delta\eta=0.0242\pm0.0046.\qquad (50)

Высота перицентра орбиты

\bar h=\bar q-\mathfrak R_{\rm BH}=114-0.071\approx114\text{ а.е.},

\varepsilon_h=\sqrt{\varepsilon_q^2+\varepsilon_{\mathfrak R_{\rm BH}}^2}=18.9\%,\quad\Rightarrow\quad \bar h\pm\Delta h=114\pm22\text{ а.е.}\qquad (51)

Ускорение свободного падения есть

\bar g=\frac{G\mathfrak M_{\rm BH}}{\bar q^2}=1.64\text{ м/с}^2,\quad\Rightarrow

\varepsilon_g=\sqrt{\varepsilon_{\mathfrak M_{\rm BH}}^2+4\varepsilon_q^2}=21.8\%,\quad\Rightarrow\quad \bar g\pm\Delta g=1.64\pm0.36\text{ м/с}^2.\qquad (52)

Ответ: к задаче представлен выражениями (41), (42), (45)-(47), (49)-(50), (51)-(52). (14 баллов)

Примечание читателя: сохранены буквально (40), где последнее отношение напечатано без множителя $100\%$ , и обозначение $\Delta\eta$ перед $18.9\%$ в (49), хотя следующая строка (50) использует абсолютную погрешность $0.0046$ . Порядок печатного ключа отличается от условия: ключ «5» относится к скорости (условие 6), ключ «6» – к высоте (условие 5), затем следует ускорение (условие 7). Все семь исходных запросов и весь ключ сохранены.

Общее справочное приложение A.1–A.10

Полные исходные справочные страницы24–31 доступны после условия задачи1; они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительными задачами.

Примечание читателя: исходный единый выпуск

Один архивный PDF Decisions содержит полный раздел условий страниц4–8, полные решения12задач страниц10–22 и справочное приложение24–31. Отдельного файла условий в полной текущей папке нет; условия из самого выпуска сохранены. УровеньА — задачи1–6, уровеньB —7–12; все38печатных нумерованных запросов сохранены внутри своих задач. Авторство и обязательная ссылка исходного выпуска сохранены; происхождение именно этих архивных байтов от организатора независимо не установлено, решения атрибутированы архиву. Сезон2020–2021 и Самара2021 сохранены. Печатные численные/обозначительные ошибки отдельно отмечены; они не исправлены молча. В справочных данных сидерический период Луны в A.4 —27.32162сут, в A.8 —27.32166сут; оба исходных числа доступны. Песенных/стихотворных материалов в полном31-страничном оригинале нет.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf · решение от архива: Decisions[OIOA_2021-2]_7-9 classes.pdf