Самара 2021, II кръг (очен), 7–9 клас — Задача 7. Звезда в точке севера

Если звезда, в нижней кульминации находится в точке севера (принадлежащей математическому горизонту), то ее высота над горизонтом равна нулю:

Поскольку $\delta_*<\varphi_S$, то данная звезда в верхней кульминации будет находиться на небесном меридиане, к югу от зенита, тогда азимут должен быть равен нулю – $A_*=0^\circ$, а зенитное расстояние определяется формулой вида:

Т.о., горизонтальные координаты звезды в верхней кульминации есть $A_*=0^\circ00'$, $z_*=16^\circ24'$.

Как известно, декретное время $T_{\rm d}$ можно связать с поясным временем $T_N$ посредством формулы вида:

В свою очередь, поясное время можно связать со всемирным временем $T_0$ и номером часового пояса $N$ данного места:

Местное среднее солнечное время $T_{\rm m}$ можно также связать со всемирным посредством долготы $\lambda$ места наблюдения:

Местное среднее солнечное время можно представить через истинное солнечное время и уравнение времени $\eta$:

Истинное солнечное время можно определить посредством часового угла истинного солнца:

Из выражений (19)-(24) следует явное аналитическое выражение для декретного времени $T_{\rm d}$:

Заметим далее, что в 2021 году весеннее равноденствие наступило 20 марта в 13 часов 37 минут по Самарскому декретному времени (что близко к истинному полудню). Следовательно, прямое восхождение Солнца в этот момент $\alpha_\odot=0^{\rm h}00^{\rm m}$. Поскольку прямое восхождение Солнца за сутки изменяется на $4^{\rm m}$ (а за половину суток на $2^{\rm m}$), тогда прямое восхождение звезды, кульминирующей 20.03.2021 в истинную полночь по Самарскому времени было $\alpha_{1*}=11^{\rm h}58^{\rm m}$.

Нетрудно заметить, что $t_{\rm m}=t_\odot+\eta$ есть часовой угол среднего экваториального Солнца, который должен меняться строго пропорционально прошедшему времени от момента верхней кульминации среднего экваториального Солнца, поскольку данная фиктивная точка движется равномерно (согласно определению) по небесному экватору. Следовательно, в один и тот же момент декретного времени, в одном и том же месте поверхности Земли часовой угол $t_{\rm m}$ должен быть одним и тем же. Но по факту $\eta$ меняется от значения $\eta_1=+8^{\rm m}$ (на 20.03.2021) и до $\eta_2=+4^{\rm m}$ (на 01.04.2021). Следовательно $t_\odot$ тоже будет меняться. Поэтому является логичным работать далее с усредненными величинами на временном интервале (20.03.2021-01.04.2021), т.е.

Следовательно, выражение (24) можно записать так

Т.о., усредненный часовой угол истинного Солнца на декретную полночь 20 марта составлял $\bar t_\odot=11^{\rm h}14^{\rm m}$, следовательно до истинной полуночи в этот момент оставалось $46^{\rm m}$. Следовательно, в эту декретную полночь кульминировали звезды с $\alpha_{2*}=\alpha_{1*}-46^{\rm m}=11^{\rm h}12^{\rm m}$. Поскольку звездные сутки короче среднесолнечных на $4^{\rm m}$, то в декретную полночь 01 апреля будут кульминировать звезды:

Ответ: $A_*=0^\circ00'$, $z_*=16^\circ24'$; $\delta_*=36^\circ48'$, $\alpha_*=12^{\rm h}00^{\rm m}$. (11 баллов)

Примечание читателя: дата 1 апреля в условии сохранена; памятка страницы 2 указывает срок приема 15.02.2021–30.03.2021. Печатная ссылка «(19)-(24)» перед самой формулой (24) также сохранена.