СПбАО 2023, II кръг (очен), 7–8 клас, файл theo.pdf — Задача 3

• минимальное $\approx 42^{\circ}$, максимальное $\approx 50^{\circ}$

Луна движется вокруг Земли по вытянутой орбите, поэтому ее скорость в разные моменты времени несколько отличается, но за неимением соответствующих данных будем считать, что движение происходит равномерно.

Известно, что сидерический месяц (период, с которым Луна возвращается на то же место на небе относительно звезд) составляет около $27\frac{1}{3}$ суток или $27 \cdot 24 + 8 = 656$ часов. За это время Луна проходит на небе $360^{\circ}$, следовательно, движется со скоростью около $360/656 \approx 0^{\circ}.55$ в час. Между двумя указанными событиями прошло $3 \cdot 24 + 12 = 84$ часа с небольшим, за это время Луна должна была пройти примерно $46^{\circ}$.

Остается определиться с минимальным и максимальным значениями. Они получатся, если обе звезды окажутся на траектории движения Луны (см. рисунок), причем максимум будет соответствовать положениям звезд, отмеченным красным, а минимум— синим.

Рисунок, конечно, не в масштабе.

Таким образом, минимальное расстояние — это $46^{\circ} - 1^{\circ}.4 - 2^{\circ}.5 \approx 42^{\circ}$, максимальное — $46^{\circ} + 1^{\circ}.4 + 2^{\circ}.5 \approx 50^{\circ}$.

В реальности оба указанных момента соответствуют подходу Луны на минимальное расстояние к обоим звездам, причем в обоих случаях Луна севернее звезд. Поэтому реальное расстояние с очень хорошей точностью совпадает с полученным нами средним значением, $46^{\circ}$.

Комментарии:

1. Верно посчитана скорость передвижения Луны по небесной сфере — 3 балла. Скорость Луны посчитана неточно – 2 балла (очень часто делались ошибки в вычислениях или сильные округления). Если использован синодический период — 1 балл.

2. Верно посчитано расстояние между двумя положениями Луны — 2 балла. В вычислениях есть неточности — 1 балл (во многих работах участники неправильно находят промежуток времени, чаще всего пишут 2.5 сут, вместо 3.5).

3. Правильно понято, что значит минимально и максимально возможные расстояния между звездами. Верно посчитаны эти значения — 3 балла. Найдено только одно из расстояний — 1 балл.

П.А.Тараканов