Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, 2025, 2 февраля, теоретический тур, решения · 2 февруари 2025 г.

Условие

Вокруг Земли по круговой орбите вращается светящийся шар. Наблюдения с поверхности Земли показывают, что шар в зените имеет видимую звездную величину, равную $-1^{m}$ , на горизонте же она равна $+10^{m}$ . Оцените высоту полета шара над поверхностью Земли.

Отговори

Решение

Начнем с простой оценки. Разность на $11^{m}$ означает, что освещенности, создаваемые шаром в зените и на горизонте, отличаются примерно в $2.5\cdot10^{4}$ раз. В простейшем случае освещенность, создаваемая точечным источником, обратно пропорциональна квадрату расстояния до него, и тем самым расстояние до шара в зените примерно в 160 раз меньше, чем на горизонте. Даже самая грубая оценка приведет нас к выводу, что высота полета шара в такой ситуации должна быть меньше чем 1/160 доля радиуса Земли, т.е. не превышает 40 км, что уже совершенно неправдоподобно из-за того, что шар будет двигаться в уже достаточно плотных слоях атмосферы (а более аккуратная, аналогичная последнему этапу этого решения, даст еще более нелепый результат — высота полета окажется равной примерно 0.5 км).

Поэтому следует задуматься над тем, не влияет ли атмосфера на видимую звездную величину шара. Известно, что поглощение света атмосферой в зените составляет $\Delta m_0 = 0^{m}.2$ . Вычислим отсюда поглощение на горизонте, воспользовавшись моделью высоты однородной атмосферы с $h_0 = 8$ км.

Расстояние, который преодолеет свет в атмосфере на пути от шара на горизонте до наблюдателя,

l = \sqrt{(R_\oplus+h_0)^2 - R_\oplus^2} \approx \sqrt{2R_\oplus h_0} = \sqrt{2\cdot 6.4\cdot10^{3}\cdot 8} = 320\ \text{км}.

Оно оказывается больше расстояния в зените в $320/8 = 40$ раз, поэтому поглощение на горизонте составит $\Delta m = 40\cdot0^{m}.2 = 8^{m}$ .

Это означает, что из изменения видимой звездной величины шара на $11^{m}$ только $3^{m}$ обусловлены изменением расстояния до него, и без учета поглощения в атмосфере освещенность изменилась бы в $2.5^3\approx 16$ раз. Тогда в зените светящийся шар ближе к наблюдателю, чем на горизонте, в $\sqrt{16}=4$ раза, и высоту полета шара $h$ можно вычислить из теоремы Пифагора:

\sqrt{(R_\oplus+h)^2 - R_\oplus^2} = 4h.

Отсюда

2R_\oplus h + h^2 = 16h^2

h = \dfrac{2}{15}R_\oplus \approx 9\cdot10^{2}\ \text{км}.

Напоследок отметим, что реальное значение пригоризонтного поглощения несколько больше $8^{m}$ (использованная нами модель все-таки является весьма упрощенной), поэтому полученный ответ на самом деле является скорее нижней оценкой возможной высоты полета шара.

С.А.Русаков

Схема с Землей радиусом $R_\oplus$, атмосферой высотой $h_0$ и лучом света длиной $l$, идущим от шара на горизонте до наблюдателя, касательно к поверхности атмосферы.

Оригинал в Архива: theo.pdf