Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, 2025, 2 февраля, теоретический тур, решения · 2 февруари 2025 г.

Условие

Известно, что черные дыры «испаряются», теряя массу на излучение, причем температура черной дыры связана с ее массой $\mathfrak{M}$ зависимостью следующего вида:

T \approx 10^{-7}\dfrac{\mathfrak{M}_\odot}{\mathfrak{M}}\ \text{К}.

Оцените минимально возможную плотность черной дыры, которая на современном этапе эволюции Вселенной способна терять массу.

Отговори

Решение

Радиус черной дыры («радиус Шварцшильда») $R$ связан с ее массой $\mathfrak{M}$ следующим выражением:

R = \dfrac{2G\mathfrak{M}}{c^2},

где $G$ — гравитационная постоянная, $c$ — скорость света. Это утверждение можно использовать как готовое, хотя при необходимости его можно легко получить из классического выражения для параболической (второй космической) скорости — она на поверхности черной дыры должна равняться скорости света.

Сразу заметим, что поскольку радиус черной дыры прямо пропорционален ее массе, плотность черных дыр с ростом массы убывает. Тем самым поиск минимально возможной плотности эквивалентен поиску максимально возможной массы и минимально возможной температуры дыры.

Поглощение черной дырой чего-либо (вещества или излучения) приводит к тому, что ее масса увеличивается. Испарение — наоборот, к уменьшению массы. Поэтому если масса черной дыры уменьшается, то это означает, что она достаточно маломассивная, горячая и плотная для того, чтобы ее испарение не компенсировалось внешними источниками вещества или излучения. Интересующий нас предельный случай — это ситуация, когда внешние источники обеспечивают наименьший возможный прирост массы дыры. Какими они могут быть?

На черную дыру может аккрецировать вещество либо с соседней звезды, либо из межзвездной среды. Однако вполне возможна ситуация, когда аккреция фактически отсутствует, поэтому этот источник можно не рассматривать. На черную дыру может падать излучение других объектов, однако если они находятся далеко от нее, это тоже сравнительно небольшой источник массы. Единственное, от чего избавиться совершенно не удастся — это реликтовое излучение, которое поглощается черной дырой и тем самым является постоянным источником массы. Поэтому в предельном случае излучение черной дыры за счет испарения и поглощение реликтового излучения черной дырой должны компенсировать друг друга.

В принципе далее задачу можно решать, вычислив светимость черной дыры за счет испарения и приравняв ее к энергии, поглощаемой дырой за единицу времени. Но намного проще будет заметить, что описанная выше ситуация полностью удовлетворяет определению термодинамического равновесия между черной дырой и реликтовым излучением, а это значит, что температура излучения такой черной дыры должна равняться температуре реликтового фона в современную эпоху — примерно 2.7 К.

Теперь осталось только вычислить ответ. Поскольку

T \approx 10^{-7}\dfrac{\mathfrak{M}_\odot}{\mathfrak{M}}\ \text{К},

то масса такой черной дыры равна

\mathfrak{M} \approx \dfrac{10^{-7}\ \text{К}}{T}\mathfrak{M}_\odot \approx \dfrac{1}{2.7}\cdot10^{-7}\mathfrak{M}_\odot = \dfrac{2\cdot10^{30}}{2.7}\cdot10^{-7}\ \text{кг} \approx 7\cdot10^{22}\ \text{кг}.

Ее плотность будет равна

\rho = \dfrac{\mathfrak{M}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \dfrac{3c^6}{32\pi G^3 \mathfrak{M}^2},

подставляя сюда значения всех констант в СИ и учитывая, что нас интересует точность в лучшем случае с одной значащей цифрой (а в реальности скорее порядковая), получаем

\rho = \dfrac{3\cdot3^6\cdot10^{48}}{32\cdot3\cdot7^3\cdot10^{-33}\cdot7^2\cdot10^{44}} \approx \dfrac{3^5\cdot10^{36}}{7^5} \approx \dfrac{250\cdot10^{36}}{7\cdot50\cdot50} \approx 10^{34}\ \text{кг/м}^3.

Заметим, что тем самым испарение черных дыр — эффект, для «обычных» дыр звездных масс (и тем более сверхмассивных дыр в центрах галактик) на практике не реализующийся. Полученная нами в качестве промежуточного результата «пограничная» масса $7\cdot10^{22}$ кг — это примерно масса Луны.

П.А.Тараканов

Оригинал в Архива: theo.pdf