Съдържание

СПбАО 2026, II кръг (очен), 9. клас, файл 9theo.pdf — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2026

XXXIII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, теоретический тур, решения

Условие

Гесиод утверждал, что падение медной наковальни с неба на землю длилось бы девять дней и ночей. Оцените высоту, на которой, по мнению Гесиода, находится небо.

Отговори

Решение

Возможно, напрашивающаяся на первый взгляд идея — считать, что наковальня падает равноускоренно с ускорением $g \approx 10\ \mathrm{м/с^2}$ . Тогда за 9 суток при нулевой начальной скорости она пролетит расстояние

s = \frac{gt^2}{2} = \frac{10\cdot(9\cdot 86400)^2}{2} \approx 3\cdot10^{12}\ \mathrm{м} \approx 20\ \mathrm{а.е.}

Очевидно, что это нереалистичный ответ: на таких расстояниях от Земли ускорение свободного падения явно будет другим, да и гравитационное воздействие Солнца на наковальню тоже определенно придется учитывать.

Поэтому считаем Землю шарообразной. Тогда падение наковальни можно представить как движение по очень сильно вытянутой эллиптической орбите, практически не отличающейся от отрезка, большая ось $r$ которой совпадает с расстоянием от точки старта наковальни до центра Земли. Запишем для такой орбиты III закон Кеплера, причем для удобства сравним эту орбиту с орбитой Луны, период обращения которой вокруг Земли примерно равен $T = 27$ суткам. Тогда

\frac{T^2}{(r/2)^3} = \frac{T^2}{a^3},

где $a$ — расстояние от Земли до Луны (фактически радиус орбиты Луны, эллиптичностью которой мы пренебрежем), а $T=18$ суток (наковальня за 9 суток пролетит только половину своей орбиты).

Подставим данные о периодах в выражение, заодно «перевернув» его. Получим

\frac{r^3}{2^3\cdot 18^2} = \frac{a^3}{27^2}.

Отсюда

r = \sqrt[3]{\frac{2^3\cdot18^2}{27^2}}\, a = \sqrt[3]{\frac{32}{9}}\, a \approx \frac{3}{2}a.

Ну и поскольку радиус орбиты Луны около $4\cdot10^5$ км, то высота неба — $6\cdot10^5$ км. Заметим, что это меньше размера сферы действия Земли, так что влияние Солнца на наковальню в данном случае учитывать действительно не требовалось.

П.А.Тараканов

Оригинал в Архива: 9theo.pdf