СПбАО 2026, II кръг (очен), 9. клас, файл 9theo.pdf — Задача 4

• $2 \times 10^{-7}$

  Вероятность увидеть прохождение Юпитера по диску Солнца при первом же наблюдении.

Начнем с истолковывания вспомогательной детали условия. Инопланетные астрономы находится на расстоянии не более 100 пк от Солнца, и это означает, что направление, в котором они могут находиться по отношению к Солнечной системе, может быть произвольным — это расстояние заведомо меньше характерной полутолщины диска Галактики.

Теперь подумаем, что конкретно может помешать инопланетным астрономам увидеть прохождение (кроме погодных и технических ограничений, которые по условию задачи исключены). Такое обстоятельство одно — Юпитер во время наблюдения не проходит по диску Солнца. Соответственно, нам надо оценить долю небесной сферы, при наблюдении из которой Юпитер окажется перед Солнцем и будет проецироваться на его диск. Сделать это можно несколькими разными способами, изложим простейший.

Для начала заметим, что наблюдения проходят с большого расстояния (ближе чем на $\alpha$ Cen инопланетяне точно не живут), поэтому угловой размер Юпитера для наблюдателей в 10 раз меньше углового размера Солнца и тем, что Юпитер не точечный, для оценки можно пренебречь. По той же причине доля небесной сферы, из которой Юпитер виден на диске Солнца, совпадает с долей небесной сферы, из которой в данный момент Юпитер не виден, поскольку закрыт от наблюдателей Солнцем.

Последнюю величину можно сравнительно легко оценить. Мы знаем, что при наблюдении с Земли угловой диаметр Солнца около $0^\circ.5$. Соответственно, при наблюдении Солнца с Юпитера угловой диаметр Солнца будет в 5 раз меньше и окажется равным $0^\circ.1$. Поэтому Юпитер находится за Солнцем для наблюдателей, находящихся на небесной сфере в круге с таким угловым диаметром. Его площадь можно оценить как $10^{-2}$ квадратного градуса (более аккуратный подсчет даст результат $8\cdot10^{-3}$) и, поскольку все небо содержит около $4\cdot10^4$ квадратных градусов, интересующая нас доля небесной сферы составит примерно $2\cdot10^{-7}$. Оказавшиеся в диаметрально противоположном участке небесной сферы того же размера инопланетные астрономы увидят Юпитер на диске Солнца, таким образом, это одновременно и ответ на вопрос задачи — вероятность при первом же наблюдении увидеть прохождение Юпитера по диску Солнца равна $2\cdot10^{-7}$.

Принципиально можно также пойти по более длинному, но, возможно, более идейно легкому пути, «разделив» происходящее на две подзадачи. Заодно при изложении этого варианта для разнообразия воспользуемся радианной мерой угла (что можно было сделать и в первом варианте решения). Во-первых, если инопланетные астрономы со своей планетной системой находятся далеко от плоскости орбиты Юпитера вокруг Солнца, то наблюдение прохождения принципиально невозможно: Юпитер будет проходить либо над диском Солнца, либо под ним, но на него никогда не попадет. Во-вторых, даже если прохождения возможны, наблюдение может случиться тогда, когда Юпитер по диску Солнца не проходит. Эти два события никак не зависят друг от друга, поэтому вероятность того, что в обоих случаях обстоятельства окажутся благоприятными, равна произведению вероятностей того, что в каждом из двух случаев все сложится удачно.

Начнем с оценки вероятности того, что Юпитер вообще когда-либо проходит по диску Солнца. Нарисуем предельный случай — когда для наблюдателя Юпитер касается диска Солнца, но не заходит на него:

По построению видно, что

Опять пренебрежем размерами Юпитера по сравнению с Солнцем (считая второе слагаемым в числителе дроби близким к нулю). Во-вторых, искомый угол — это угловой размер радиуса Солнца с расстояния, равного радиусу орбиты Юпитера. Нас же на самом деле интересует угол $2\varphi$ — это угловой размер полосы, в которой Юпитер должен находиться для того, чтобы его прохождение по диску Солнца можно было наблюдать. Поэтому

Тогда телесный угол, в котором будет наблюдаться прохождение, будет равен ширине этой полосы, умноженной на $2\pi$. Поскольку вся сфера — это $4\pi$, вероятность попасть в нужный «пояс» составит

Теперь оценим вероятность того, что в момент наблюдения прохождение Юпитера будет видно. Достаточно вычислить время, которое потребуется Юпитеру на пересечение с его орбитальной скоростью диаметра Солнца. Это можно сделать несколькими различными методами, приведем тот, который требует знания наименьшего количества дополнительных параметров.

Уже известный нам угловой диаметр Солнца $6'$ Юпитер должен проходить за $1/360/60\cdot6$ долю оборота, и именно в это время его можно будет увидеть на диске Солнца, если наблюдатель находится в произвольной точке, лежащей в плоскости орбиты Юпитера вокруг Солнца. Это и есть вероятность обнаружить его там при первом же наблюдении, и она равна $3\cdot10^{-4}$. Оценку можно немного уменьшить (например, до $2\cdot10^{-4}$), если учесть, что для наблюдателей, находящихся не точно в плоскости орбиты, время прохождения Юпитера по диску Солнца будет меньше. Осталось перемножить две вероятности. Получим величину около $2\cdot10^{-7}$, что является итоговым ответом, совпадающим с полученным ранее другим способом.

П.А.Тараканов