Съдържание

ВсОШ 2002, Регионален етап — Задача 9.1. 9 класс. Резиновая лента

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур

Рекомендации для организаторов

Задачи могут быть скорректированы в соответствии с имеющимся оборудованием или заменены.

О пособии

МФТИ, 2001/2002 уч. г. Авторский коллектив — Судаков О., Кузьмичев С.; общая редакция — Слободянин В. В каждом из 9, 10 и 11 классов напечатана отдельная задача 1. Возможные решения находятся в том же пособии. Дата подписания в печать 14 марта 2005 г. относится к изданию; учебный год на обложке — 2001/2002. Баллы и время выполнения в этом пособии не указаны.

Условие

Рассмотрим резиновую ленту пренебрежимо малой массы, один конец которой закреплен, а к другому подвешен груз массой $m$ . Пусть $l_0$ — длина ленты в недеформированном состоянии, а $l$ — длина ленты, растянутой силой $mg$ . В наших опытах удлинение ленты $x=l-l_0$ и сила $mg$ связаны законом Гука $mg=kx$ (величина $k$ называется коэффициентом упругости или жесткостью ленты).

Проведите необходимые измерения и по их результатам рассчитайте удлинение $x$ резиновой ленты, длина которой в недеформированном состоянии $l_0=1$ см, если к ленте прикреплен груз массой $m=100$ г.

В отчете приведите:

1) вывод формулы для нахождения неизвестного растяжения $x$ по измеренным в опыте величинам;

2) описание измерений, их результаты и ошибки;

3) расчет величины $x$ и соответствующую ошибку.

Что по вашим данным дает больший вклад в ошибку измерений при определении величины $x$ : ошибки измерения растяжений или неоднородность ширины ленты? Почему?

Оборудование. Резиновая лента длиной $\approx0{,}8$ м, груз массой 150 г, рулетка.

Решение

Рекомендации для организаторов. Резиновые ленты длиной $L\approx50$ см и шириной $b\approx1$ см можно нарезать из медицинского эластичного бинта.

Прямое измерение $x$ для ленты с $l_0=1$ см провести не удается, так как нет груза 150 г и слишком велика ошибка измерения начальной длины $l_0$ . Поэтому проведем косвенные измерения. Для груза $M=150$ г и ленты длиной $L=nl_0$ , где $n$ — число последовательно соединенных отрезков ленты длиной $l_0$ имеем:

Mg=k(l_0)x(l_0)=k(L)x(L),\qquad (1)

где $k(l_0)$ — жесткость ленты длиной $l_0$ , а $k(L)$ — жесткость ленты длиной $L$ . Удлинение ленты длины $L$ связано с удлинением $x(l_0)$

x(L)=nx(l_0).\qquad (2)

Из (1) и (2) следует

k(l_0)=nk(L)=n\frac{Mg}{L}.\qquad (3)

Примечание к источнику. В оригинале написано «нет груза 150 г», хотя именно такой груз указан в оборудовании, а в условии требуется расчет для 100 г. В знаменателе последней дроби (3) напечатано $L$ , а не $x(L)$ . Эти места сохранены без исправления.

Для нескольких длин нерастянутой ленты, например, $L\approx20;30;40;50$ см (ошибка измерения длины $L$ пренебрежимо мала) находим растяжение $x(L)$ . Ошибку измерения растяжения оцениваем по нескольким (например, четырем) измерениям для соответствующих длин $L$ . Пример вычисления указан ниже. Искомое удлинение $x=mg/k(l_0)$ , или с учетом (3),

x=\frac mM\frac{x(L)}n.\qquad (4)

Ошибку величины $x$ можно определить по ее разбросу в различных сериях измерений длины $L$ . Имея набор значений $x$ и их ошибок, можно оценить влияние неоднородности ширины ленты на результат измерений. Для нашей ленты и груза

\frac{x(L)}L\approx0{,}2,\qquad\frac{x(l_0)}{l_0}\approx0{,}13.

Пример расчета ошибки растяжения. Пусть для длины $L=50$ см четыре раза измерены растяжения $x(L)$ .

Номер опыта	1	2	3	4
$x(L)$ , см	10,2	8,9	11,3	12,1
$\Delta x=\lvert x(L)-x_{\text{ср}}(L)\rvert$ , см	0,4	1,7	0,7	1,5

Среднее значение

x_{\text{ср}}=\frac{10{,}2+8{,}9+11{,}3+12{,}1}{4}\approx10{,}6\text{ см}.

Оценка ошибки в серии

\Delta x_{\text{ср}}=\frac{0{,}4+1{,}7+0{,}7+1{,}5}{4}\approx1\text{ см}.

Итоговая запись $x(L)=(11\pm1)$ см. Среднее значение округлено в соответствии с величиной ошибки.

Оригинал в Архива: region02E.pdf