Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 11.1. Бусинка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Гладкая проволока изогнута так, что если совместить ось $Oy$ с одной ее частью, то другая часть проволоки будет совпадать с графиком функции $y = ax^3$ при $x > 0$ (рис. 7). Проволока равномерно вращается вокруг вертикальной оси $Oy$ с угловой скоростью $\omega$ . На нее надета бусинка $M$ , которая может скользить вдоль проволоки с пренебрежимо малым трением. Найдите координаты $x_0$ и $y_0$ равновесного положения бусинки и период $T$ малых колебаний относительно этого положения.

Оси x и y с началом O; кривая y = ax³ проходит через точку M с координатами (x₀, y₀), отмеченными пунктиром; под началом координат стрелка вращения ω вокруг оси Oy. — Рис. 7

Отговори

Решение

Касательная к проволоке в точке $(x_0, y_0)$ — положении равновесия бусинки — составляет угол $\alpha_0$ с осью $Ox$ , причем $\operatorname{tg}\alpha_0 = y_x'(x_0) = 3ax_0^2$ . (1) Второй закон Ньютона в проекции на эту касательную имеет вид: $m\omega^2x_0\cos\alpha_0 = mg\sin\alpha_0$ . (2)

Из (1) и (2) находим $\quad x_0 = \dfrac{\omega^2}{3ag},\quad y(x_0) = \dfrac{\omega^6}{27a^2g^3}.$

Пусть $\Delta x$ и $\Delta y$ — смещения бусинки при малых колебаниях, тогда

\Delta y = a(x_0 + \Delta x)^3 - ax_0^3 \approx 3ax_0^2\Delta x + 3ax_0\Delta x^2.

Малое смещение бусинки вдоль проволоки

s \approx \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{1 + y_x'(x_0)^2}\Delta x = \sqrt{1 + \frac{\omega^8}{9a^2g^4}}\Delta x.

В системе отсчета, вращающейся вместе с проволокой, кинетическая энергия бусинки

E_{\text{к}} = \frac{m}{2}\left(\frac{ds}{dt}\right)^2;

потенциальная энергия в полях силы тяжести и центробежной силы

E_{\text{п}} = mg(y_0 + \Delta y) - \frac{m\omega^2}{2}(x_0 + \Delta x)^2 =

= mgy_0 + mg(3ax_0^2\Delta x + 3ax_0\Delta x^2) - \left(\frac{m\omega^2}{2}x_0^2 + m\omega^2x_0\Delta x + \frac{m\omega^2}{2}\Delta x^2\right).

Из (1) и (2) следует $3ax_0^2mg\Delta x = m\omega^2x_0\Delta x$ , поэтому

E_{\text{п}} = C + \frac{m\omega^2}{2}\Delta x^2,\qquad \text{где}\qquad C = mgy_0 - \frac{m}{2}\omega^2x_0^2.

Выразим полную механическую энергию через $s$ :

E = \frac{m}{2}\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 + \frac{m\omega^2}{2}\frac{s^2}{1 + \omega^8/(9a^2g^4)} + C.

Энергия гармонических колебаний имеет вид $E = mv^2/2 + kx^2/2 + C$ , что соответствует нашему случаю ( $k$ — эффективная жесткость). Период колебаний

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{2\pi}{\omega}\sqrt{1 + \frac{\omega^8}{9a^2g^4}}.

Оси x и y с началом O, кривая проволоки проходит через точку M (x₀, y₀); в точке M приложены сила реакции N⃗ (вверх-влево), центробежная сила F⃗ц (вправо) и сила тяжести mg⃗ (вниз); пунктиром проведена касательная, образующая с осью x угол α₀; внизу стрелка вращения ω. — Рис. 15

Оригинал в Архива: final02T.pdf