ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 10.5. Схема с диодом

• $Q_1 = \frac{C\mathcal{E}^2}{2},\qquad Q_2 = \frac{C\mathcal{E}^2}{4}$

В промежуток времени, когда ключ $K_1$ замкнут, а $K_2$ разомкнут, диод открыт. К моменту замыкания ключа $K_2$ работа батареи $\mathcal{E}_1$ пошла на зарядку конденсатора $C_1$ и выделение тепла $Q_1'$ на резисторе $R_1$:

где $q_1$ — заряд, прошедший через батарею. Конденсатор $C_1$ зарядится до напряжения $\mathcal{E}_1$, поэтому $q_1 = C_1\mathcal{E}_1$, откуда $Q_1' = C_1\mathcal{E}_1^2/2$. Поскольку $\mathcal{E}_2 > \mathcal{E}_1$, то после замыкания ключа $K_2$ напряжение на конденсаторе $C_1$ возрастает, поэтому диод будет все время закрыт. Следовательно, ток через резистор $R_1$ течь не будет, и $Q_1 = Q_1' = C\mathcal{E}^2/2$. К моменту завершения переходных процессов через батарею $\mathcal{E}_2$ пройдет заряд $q_2$, тогда работа источника

Конденсаторы зарядятся до напряжений $U_1$ и $U_2$, которые находим из условий стационарности: $U_1 + U_2 = \mathcal{E}_2$, $\quad q_1 + q_2 = C_1U_1$, $\quad q_2 = C_2U_2$. Отсюда

Подставляя $q_1$, $q_2$, $U_1$, $U_2$ в (1), находим $Q_2 = C\mathcal{E}^2/4$.