Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 10.4. В полях

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Частица массы $m$ с зарядом $q$ движется с постоянной по модулю скоростью в области пространства, где имеются три взаимно перпендикулярных поля: электрическое с напряженностью $E$ , магнитное с индукцией $B$ и поле тяжести $g$ (рис. 5). В некоторый момент поля $E$ и $B$ выключают. Минимальная кинетическая энергия частицы в процессе движения составляет половину начальной. Найдите проекции скорости частицы на направления полей $\vec{E}$ , $\vec{B}$ и $\vec{g}$ в момент выключения полей.

Оси координат x, y, z: вектор E⃗ направлен вдоль оси x, вектор B⃗ — вдоль оси y, вектор g⃗ — вниз, против оси z. — Рис. 5

Отговори

Решение

Результирующая сила $\vec{F}$ , действующая на частицу со стороны полей $\vec{E}$ и $\vec{g}$ , постоянна по модулю и направлению. Сила Лоренца не совершает работы, поэтому частица должна двигаться в плоскости перпендикулярной силе $\vec{F}$ , чтобы не изменялась абсолютная величина ее скорости. Вектор магнитной индукции тоже лежит в этой плоскости, значит, частица движется прямолинейно, то есть результирующая всех сил равна нулю. Запишем это условие в проекции на ось $Ox$ :

m\frac{d^2x}{dt^2} = qE - qv_zB = 0,\qquad \text{откуда}\qquad v_z = \frac{E}{B}.

Когда кинетическая энергия достигает минимума, скорость частицы направлена горизонтально. В начальный момент времени кинетическая энергия частицы в 2 раза больше, значит, вертикальная и горизонтальная составляющие начальной скорости одинаковые. Поэтому $v_0 = \sqrt{2}v_z = E\sqrt{2}/B$ . При движении в скрещенных полях силы, действующие на частицу вдоль оси $Oz$ , скомпенсированы:

mg = qv_xB,

\text{а это значит}\qquad v_x = \frac{m}{q}\frac{g}{B}.

Составляющую скорости $v_y$ найдем из условия $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = v_0^2$ . Откуда следует

v_y = \sqrt{\left(\frac{E}{B}\right)^2 - \left(\frac{m}{q}\frac{g}{B}\right)^2}.

Оригинал в Архива: final02T.pdf