Съдържание

ВсОШ 2002, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 10.3. Шарики в углу

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Московский областной этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Два груза массы $m$ каждый соединены пружиной жесткости $k$ и находятся на двух клиньях с углами при основаниях $45^{\circ}$ (рис. 9). Клинья зафиксированы на основании; пружина в начальный момент расположена горизонтально и имеет длину $l_0/2$ , где $l_0$ — ее длина в свободном состоянии. Известно, что если к пружине подвесить груз массой $8m$ , то она растянется вдвое. На какую максимальную высоту подпрыгнет пружина с грузами до первого удара об опору? Трением пренебречь.

Два шарика массы m, соединенные пружиной, лежат на двух наклонных плоскостях, образующих V-образный угол; каждая плоскость наклонена под углом 45° к горизонтальному основанию; справа стрелка вниз с обозначением g. — Рис. 9

Отговори

Решение

Энергия системы в исходном состоянии:

W_0 = 2mgH_0 + \frac{k(l_0/2)^2}{2} = \frac{mgl_0}{2} + \frac{kl_0^2}{8},

где $H_0 = l_0/4$ . В момент отрыва $\vec{N} = 0$ (рис. 20), откуда следует, что модуль силы $F$ , действующей со стороны пружины на груз, равен модулю силы тяжести, то есть $F = k\Delta l = mg$ , где удлинение пружины $\Delta l = l_0/8$ .

Длина пружины в момент отрыва:

l_0 + \frac{l_0}{8} = \frac{9}{8}l_0, \qquad H_{\text{отр}} = \frac{9}{16}l_0.

Согласно закону сохранения энергии $W_0 = W_{\text{отр}}$ , где

W_{\text{отр}} = 2 \cdot \frac{mv^2}{2} + \frac{9}{8}mgl_0 + \frac{kl_0^2}{128},

откуда следует, что в момент отрыва

v = \sqrt{5gl_0}/4,

а вертикальная составляющая скорости шарика

v_y = \sqrt{5gl_0}/(4\sqrt{2}).

Далее система будет подниматься. На нее действует только сила тяжести. Высота подъема от уровня, на котором произошел отрыв шариков от клиньев

H_x = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{5gl_0}{64g} = \frac{5}{64}l_0.

Общая высота подъема грузов

H_{\text{общ}} = H_{\text{отр}} + H_x = \frac{9}{16}l_0 + \frac{5}{64}l_0 = \frac{41}{64}l_0.

Шарик на наклонной плоскости в момент отрыва: влево направлена сила пружины F (вектор), вниз — сила тяжести mg (вектор). — Рис. 20

Оригинал в Архива: region02T.pdf