Съдържание

ВсОШ 2002, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 11.2. Игрушечный танк

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Московский областной этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Игрушечный танк массы $m$ начинает перемещаться с одного конца доски массы $M$ , первоначально покоящейся на горизонтальной поверхности стола, на другой ее конец (рис. 12). Если поверхность стола идеально гладкая, то после перемещения танка на правый край доски он смещается на расстояние $S_1$ относительно стола. На какое максимальное расстояние $S_2$ относительно стола он сможет переместиться при наличии трения между доской и поверхностью стола? Танк все время остается на доске и движется только вперед. Считать, что двигатель танка может развивать любую мощность, гусеницы ни при каких условиях не проскальзывают и он способен мгновенно останавливаться на доске.

Игрушечный танк стоит на левом конце длинной доски, лежащей на горизонтальной заштрихованной поверхности стола. — Рис. 12

Отговори

Решение

В случае гладкой поверхности стола центр масс системы останется неподвижен. Пусть $l$ — путь танка по доске, $S_0$ — смещение доски относительно стола, тогда

S_1m = S_0M, \qquad S_1 = l - S_0,

откуда

l = S_1\frac{M + m}{M}.

При наличии трения между доской и поверхностью стола танк должен ехать по доске с таким ускорением $a_{max}$ , при котором доска еще не движется, а на конце доски резко остановиться, чтобы проехать дополнительное расстояние вместе с доской. В этом случае

a_{max} = \frac{(F_{\text{тр}})_{max}}{m} = \mu g\frac{M + m}{m},

где $\mu$ — коэффициент трения между доской и поверхностью стола. Перед резким торможением на конце доски танк будет иметь скорость

v = \sqrt{2a_{max}l} = \sqrt{2\mu gl\frac{M + m}{m}}.

Согласно закону сохранения импульса сразу после торможения доска и игрушка начнут совместное скольжение по поверхности с начальной скоростью

u = \frac{mv}{M + m} = \sqrt{2\mu gl\frac{m}{M + m}}.

В силу закона сохранения энергии они остановятся, пройдя путь

S = \frac{u^2}{2\mu g} = \frac{m}{M + m}l.

Таким образом,

S_2 = l + S = S_1(2 + \frac{m}{M}).

Заметим, что результат не зависит от коэффициента трения $\mu$ . Однако при $\mu = 0$ танк пройдет путь $S_1 \neq S_2$ . Подумайте почему.

Оригинал в Архива: region02T.pdf