Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Груз в воде

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Авторы задач

9 класс: 1. Шведов О. 2. Слободянин В. 3. Слободянин В. 4. Слободянин В.

10 класс: 1. Судаков О. 2. Шведов О. 3. Подлесный Д. 4. Чудновский А. 5. Шведов О.

11 класс: 1. Подлесный Д. 2. Шведов О. 3. Мельниковский Л. 4. Слободянин В. 5. Подлесный Д.

Условие

Система состоит из легкого неподвижного блока, длинной нерастяжимой нити, груза цилиндрической формы и длинной трубы с поршнем, опущенной в глубокий водоем. Плотность воды $\rho_0$ , плотность материала груза $\rho_1$ , высота цилиндра $H$ , площади основания цилиндра и внутреннего сечения трубы одинаковы. Вначале нить удерживают так, что поршень и груз касаются воды, при этом нить натянута (рис. 1). В некоторый момент времени нить отпускают. Определите расстояние $h$ , на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях:

1. $\rho_1 = \rho_0$ , $H = 1$ м;

2. $\rho_1 = 3\rho_0$ , $H = 4$ м;

3. $\rho_1 = 1{,}5\rho_0$ , $H = 16$ м.

Неподвижный блок, подвешенный к потолку; через него перекинута нить: слева к ней прикреплен поршень в длинной вертикальной трубе, справа — цилиндрический груз высотой H (размер указан стрелкой), нижние торцы трубы с поршнем и груза касаются поверхности воды. — Рис. 1

Трением в системе пренебречь, нить и поршень считать легкими.

Отговори

Решение

Пусть площадь основания цилиндрического груза и площадь внутреннего сечения трубы равны $S$ . После того как нить отпустят, груз начнет опускаться, а вода — подниматься по трубе за поршнем. Возможны два случая: груз опустится в воду либо полностью, либо частично. В этих случаях равнодействующая $R$ сил тяжести и Архимеда будет равна

R = \rho_1 gSH - \rho_0 gSh \qquad \text{при} \qquad h \leqslant H;

R = (\rho_1 - \rho_0)gSH \qquad \text{при} \qquad h > H.

Сила $R$ должна совпадать с весом жидкости в трубе, поднявшейся за поршнем: $R = \rho_0 gSH$ .

В первом случае (при $\rho_1 < 2\rho_0$ ) $h = H\rho_1/(2\rho_0)$ .

Во втором случае (при $\rho_1 > 2\rho_0$ ) $h = H(\rho_1 - \rho_0)/\rho_0$ .

Учитывая первое условие задачи, $h = H\rho_1/(2\rho_0) = 0{,}5$ м.

Аналогично, при втором условии $h = H(\rho_1 - \rho_0)/\rho_0 = 8$ м.

Применение полученных формул к условию 3 давало бы $h = 12$ м. Однако здесь мы сталкиваемся с эффектом конечности атмосферного давления: при поднятии поршня на высоту более $H_0 = 10$ м вода выше уровня $H_0$ подниматься не будет.

Если цилиндр опускается в воду на глубину $h$ не полностью, то сила атмосферного давления $p_{\text{атм}}S = \rho_0 gH_0S$ , действующая на поршень, должна уравновешивать силу натяжения нити:

\rho_0 gH_0S = \rho_1 gSH - \rho_0 gSh.

Отсюда глубина погружения цилиндра при условии 3

h = \frac{\rho_1 H}{\rho_0} - H_0 = 14\ \text{м}.

Оригинал в Архива: ok02T.pdf