Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Катушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Авторы задач

9 класс: 1. Шведов О. 2. Слободянин В. 3. Слободянин В. 4. Слободянин В.

10 класс: 1. Судаков О. 2. Шведов О. 3. Подлесный Д. 4. Чудновский А. 5. Шведов О.

11 класс: 1. Подлесный Д. 2. Шведов О. 3. Мельниковский Л. 4. Слободянин В. 5. Подлесный Д.

Условие

Катушка массой $M$ с намотанной на нее легкой нитью стоит на горизонтальном столе и упирается в два гвоздя, вбитых вертикально в стол. Один конец нити закреплен на катушке, а к свободному концу нити, свешивавшемуся в прорезь стола, привязан груз (рис. 11). При каких значениях массы $m$ груза система будет в равновесии? Радиус барабанов катушки $R$ , радиус намотки нити $r$ . Коэффициент трения катушки о гвозди $\mu_1$ , коэффициент трения катушки о поверхность стола $\mu_2$ .

Катушка с двумя большими дисками-барабанами и намоткой нити на оси стоит на столе, в котором есть прорезь; катушка упирается в два вертикальных гвоздя; нить с намотки уходит вниз через прорезь, на ней висит груз. — Рис. 11

Отговори

Решение

Допустим, что существует масса $m_0$ такая, что для массы груза $m > m_0$ катушка начнет проскальзывать. При массе груза $m = m_0$ (рис. 20):

F_1 = \mu_1N_1, \qquad F_2 = \mu_2N_2. \qquad (1),\ (2)

Катушка (окружность радиуса R, штрихом — намотка радиуса r) на горизонтальном столе, оси x и y; силы: вектор F1 вверх и N1 влево в точке касания с гвоздем, Mg вниз из центра O, T вниз вдоль нити, N2 вверх от стола, F2 вправо по столу; нить уходит вниз к грузу с силой тяжести m0g. — Рис. 20

Запишем для катушки второй закон Ньютона в проекции на координатные оси:

Ox: \qquad F_2 - N_1 = 0, \qquad (3)

Oy: \qquad N_2 + F_1 - Mg - T = 0. \qquad (4)

Натяжение нити

T = m_0g. \qquad (5)

Момент приложенных к катушке сил относительно полюса $O$ , лежащего на оси катушки, равен нулю, так как катушка находится в равновесии:

Tr - F_1r - F_2R = 0. \qquad (6)

Решая систему уравнений (1) – (6), получим:

m_0 = M\frac{\mu_2(1 + \frac{r}{R}\mu_1)}{\frac{r}{R} - \mu_2}.

Таким образом, если $\mu_2 < \frac{r}{R}$ , то система будет в равновесии при

m < m_0 = M\frac{\mu_2(1 + \frac{r}{R}\mu_1)}{\frac{r}{R} - \mu_2},

а при $m > m_0$ катушка будет вращаться.

Если увеличивать $\mu_2$ , приближая его к $r/R$ , то $m_0$ будет неограниченно возрастать; при $\mu_2 = r/R$ система находится в равновесии при любых $m$ . При $\mu_2 \geqslant r/R$ равновесие не нарушится ни при каком $m$ .

Оригинал в Архива: ok02T.pdf