Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Сопротивление воздуха

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Авторы задач

9 класс: 1. Шведов О. 2. Слободянин В. 3. Слободянин В. 4. Слободянин В.

10 класс: 1. Судаков О. 2. Шведов О. 3. Подлесный Д. 4. Чудновский А. 5. Шведов О.

11 класс: 1. Подлесный Д. 2. Шведов О. 3. Мельниковский Л. 4. Слободянин В. 5. Подлесный Д.

Условие

Тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью $v_0$ вертикально вверх, к моменту падения потеряло за счет сопротивления воздуха $\varepsilon = 1\%$ своей кинетической энергии. Сколько процентов кинетической энергии потеряет к моменту падения это же тело, если бросить его вертикально вверх со скоростью $v_0/2$ ? Сила сопротивления пропорциональна $k$ -й степени скорости тела, где $k > 0$ .

Отговори

Решение

Как вытекает из условия задачи, сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Поэтому при вычислении работы силы сопротивления в первом приближении можно считать, что скорость тела на высоте $z$ равна $\sqrt{v_0^2 - 2gz}$ . Следовательно, сила сопротивления зависит от высоты $z$ следующим образом:

F_{\text{сопр}} = \alpha(v_0^2 - 2gz)^{k/2},

где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.

Потеря кинетической энергии равна удвоенной работе сил сопротивления воздуха на участке от высоты 0 до высоты $v_0^2/2g$ : $\Delta E = -2A$ .

Разобьем участок $0 \leqslant z \leqslant \frac{v_0^2}{2g}$ на большое число $N$ маленьких участков длиной $\Delta z = \frac{v_0^2}{2gN}$ точками $z_j = \frac{v_0^2}{2g}\frac{j}{N}$ . Тогда

A = \alpha\sum_{j=1}^{N}(v_0^2 - 2gz_j)^{k/2}\Delta z = \alpha\frac{v_0^{k+2}}{2g}\sum_{j=1}^{N}(1 - j/N)^{k/2}\frac{j}{N}.

Следовательно, $A \sim v_0^{k+2}$ .

Таким образом, при уменьшении начальной скорости в 2 раза потери энергии уменьшатся в $2^{k+2}$ раз, а начальная энергия — в 4 раза. Следовательно, при начальной скорости $v_0/2$ тело потеряет энергию $\Delta E = 2^{-k}\varepsilon E_0$ , где $E_0$ — начальная энергия.

Оригинал в Архива: ok02T.pdf