ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Хоккеист на карусели

• Относительно карусели 12,5 м/с (направлена от центра карусели); относительно Земли $v \approx 13{,}5$ м/с ($v_x = 12{,}5$ м/с, $v_y = 5$ м/с).

Рассмотрим движение шайбы относительно Земли. Выберем начало координат в центре карусели, ось $Ox$ — по направлению к шайбе в момент удара, ось $Oy$ — в горизонтальной плоскости перпендикулярно оси $Ox$. В данной системе отсчета шайба движется прямолинейно и равномерно. Обозначим проекции скорости шайбы на координатные оси через $v_x$ и $v_y$.

В первом приближении можно считать, что участок карусели вблизи хоккеиста в начальный момент времени движется вдоль оси $Oy$ со скоростью $\omega R_0$. Для того, чтобы шайба оставила на карусели след, направленный вдоль оси $Ox$ (как показано на рисунке), необходимо, чтобы проекция скорости шайбы на ось $Oy$ также равнялась $\omega R_0$, то есть $v_y = 5$ м/с.

Более удаленные от центра участки карусели движутся с большей скоростью, поэтому след шайбы не будет точно прямолинейным. Действительно, точка карусели, находившаяся в начальный момент времени на оси $Ox$ на расстоянии $R_0 + a$ от центра, сместится в направлении оси $Oy$ за время $t$ на расстояние $\omega(R_0 + a)t$, шайба же сместится лишь на расстояние $\omega R_0t$. Это проявляется в смещении следа шайбы вниз на расстояние $\omega at$. Подставляя вместо $t$ время $a/v_x$, необходимое шайбе для смещения на расстояние $a$ в горизонтальном направлении, получаем, что вертикальное смещение следа шайбы равно $b = \omega a^2/v_x$.

Как видно из рисунка, данного в условии, при $a = 2{,}5$ м $b = 0{,}25$ м, а при $a = 5$ м $b = 1$ м. Отсюда получаем: $\omega/v_x = 0{,}04\ \text{м}^{-1}$.

Окончательно, скорость шайбы и ее проекции относительно Земли:

Начальная скорость шайбы относительно хоккеиста была направлена от центра карусели и равна $12{,}5$ м/с.