ВсОШ 2003, Муниципален етап, 8–11 клас — Задача 17. Шахта на малой планете (11 класс, задача 1)
XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Районно-городской этап. Теоретический тур
Условие
Вдоль диаметра однородной планеты плотностью пробурили сквозную шахту, в которую поместили гладкий стержень той же плотности. Длина стержня равна диаметру планеты (рис. 13). Определите период малых колебаний стержня вдоль оси шахты.
Отговори
Решение
Из закона всемирного тяготения находим ускорение свободного падения на поверхности планеты
где — гравитационная постоянная, — радиус планеты.
Пусть — линейная плотность стержня, тогда при его смещении на небольшое расстояние из положения равновесия на него будет действовать возвращающая сила (рис. 26)
Сила тяжести, действующая на незаштрихованный участок стержня, равна нулю в силу симметрии. Поскольку возвращающая сила линейно зависит от смещения, колебания будут гармоническими, а их период будет равен периоду колебаний груза массой на пружине жесткости :
Оригинал в Архива: mun2003.pdf