Съдържание

ВсОШ 2003, Регионален етап — Задача 9.1. 9 класс. «Черный ящик» с тремя резисторами

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур · 15 т.

Вниманию организаторов

В 2002/2003 уч. г. Министерством образования РФ установлены следующие сроки проведения региональной олимпиады школьников по физике: теоретический тур — 11 января 2003 г., экспериментальный тур — 12 января 2003 г.

Напоминаем, что согласно Положению о Всероссийских олимпиадах школьников региональный этап олимпиады проводится для учащихся 9 ÷ 11 классов (в олимпиаде имеют право участвовать школьники и других классов). Департаментам предлагается в качестве эксперимента провести теоретический тур также и для учащихся 8 классов.

Каждая теоретическая задача оценивается из 10 баллов, а каждая экспериментальная из 15 баллов. На выполнение задания каждого тура отводится 4 часа для 8–9 классов и 5 часов для 10–11 классов.

Подбор второй задачи экспериментального тура возлагается на местное жюри.

Об источнике

МФТИ, 2002/2003 уч. г. Авторы задач: 9 класс — Слободянин В.; 10 класс — Кирьяков Б., Слободянин В.; 11 класс — Кирьяков Б. Общая редакция — Слободянин В. В каждом классе дана отдельная задача 1 с возможным решением. Местные вторые задачи в архивном пособии не приведены. Печатная дата издания — 14 марта 2005 г.; дата самого экспериментального тура указана выше. Отдельной разбалловки на части нет.

Условие

Произвольная электрическая схема, состоящая только из резисторов и имеющая три вывода, может быть заменена любой из двух эквивалентных схем: «треугольником» (рис. 1) или «звездой» (рис. 2).

Выведите формулы для пересчета сопротивлений схемы «треугольник» в сопротивления схемы «звезда», то есть выразите $R_A$ , $R_B$ и $R_C$ через $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ .

Определите, по какой схеме («треугольник» или «звезда») соединены три резистора (два постоянных и один переменный) в «черном ящике». Вычислите значения сопротивлений постоянных резисторов и найдите пределы изменения переменного резистора.

Оборудование. «Черный ящик» с выведенными наружу тремя клеммами $A$ , $B$ , $C$ и ручкой регулировки переменного сопротивления, омметр.

Решение

Возможное решение.

1. Преобразование схем

Из рисунков 2 и 3 следует:

R_B+R_C=\frac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3},\qquad (1)

R_C+R_A=\frac{R_2(R_3+R_1)}{R_1+R_2+R_3},\qquad (2)

R_A+R_B=\frac{R_3(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}.\qquad (3)

Сложив (1) с (2) и вычтя (3), получим

R_A=\frac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}.

Аналогично найдем

R_B=\frac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3},\qquad R_C=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}.

Примечание к источнику. Фраза «Сложив (1) с (2) и вычтя (3)» воспроизведена как напечатано, хотя при указанной нумерации это выделяет $2R_C$ , а далее в пособии напечатана формула для $R_A$ .

2. Определение схемы

Предположим, что в «черном ящике» резисторы соединены по схеме «треугольник», тогда сопротивление между любой парой клемм будет зависеть от величины переменного сопротивления. Из опыта получаем, что сопротивление $R_{AC}$ между клеммами $A$ и $C$ постоянно, следовательно, резисторы соединены по схеме «звезда», причем переменный резистор соединен с клеммой $B$ .

3. Сопротивления резисторов

Выразим измеренные сопротивления $R_{AB}$ , $R_{AC}$ и $R_{BC}$ между парами клемм через $R_A$ , $R_B$ и $R_C$ :

R_{AB}=R_A+R_B,\qquad R_{AC}=R_A+R_C,\qquad R_{BC}=R_B+R_C.

Сложив первое из этих уравнений со вторым и вычтя третье, получим

R_A=\frac12(R_{AB}+R_{AC}-R_{BC}).

Аналогично найдем

R_B=\frac12(R_{AB}+R_{BC}-R_{AC}),\qquad R_C=\frac12(R_{AC}+R_{BC}-R_{AB}).

Рекомендации для организаторов. Внутри черного ящика следует соединить резисторы по схеме «звезда» (рис. 4). Значения сопротивлений можно выбрать следующими: $R_A\sim1$ кОм, $R_C\sim2$ кОм. Сопротивление переменного резистора $R_B\sim(0\div5)$ кОм.

Оригинал в Архива: region03E.pdf