ВсОШ 2003, Заключителен етап — Задача 10.2. 10 класс. Неизвестная жидкость (1)

Наиболее точный метод измерения показателя преломления жидкости с помощью данного оборудования это метод толстой линзы. Снимем с фонарика отражатель, тогда на больших расстояниях фонарик можно рассматривать как точечный источник света $S$. Сделаем из миллиметровой бумаги экран и будем наблюдать на нем изображение $S_1$ спирали лампочки в толстой линзе. Экран и фонарик должны быть расположены на столе так, чтобы они были одинаково удалены от стакана с водой (рис. 7). При этом ход лучей окажется симметричным, и внутри линзы параксиальные лучи пойдут параллельно оси системы, то есть $\beta=\alpha$, следовательно

С другой стороны, $\gamma L=\alpha D/2$, где $D$ — диаметр стакана, $L$ — расстояние от стакана до источника, откуда $n=1+D/(2L)$. Измерим расстояние $x$ между источником и изображением: $x=2L+D$. Тогда:

В данном эксперименте, как видно из формулы (1), определяется величина $n-1$, что, очевидно, точнее определения величины $n$. Как известно, для тонкой линзы при симметричном ходе лучей расстояние между предметом и его изображением минимально. Нетрудно убедиться, что то же самое выполняется для толстой линзы. Так как это минимум, то небольшие отклонения линзы от центра системы не вносят значительной ошибки в результат и особо точной установки стакана не требуется — это еще одно достоинство данного метода.

Оценим погрешность результата:

Для измерения диаметра $D$ необходимо обмотать стакан в несколько оборотов полоской миллиметровой бумаги. Таким образом погрешность $\Delta D$ можно сделать весьма малой и в формуле (2) ею можно пренебречь:

Характерные значения: $x\approx1\text{ см}$, $D\approx4\text{ см}$, $\Delta x\approx1\text{ мм}$, $\mathcal E_n\approx2\%$.

Примечание к источнику. Последняя строка действительно содержит $x\approx1\text{ см}$; это меньше указанного диаметра $D\approx4\text{ см}$ и не согласуется с геометрией $x=2L+D$ и заявленной погрешностью. Исходное число сохранено. В тексте решения написано «стакана с водой», хотя в условии выдается неизвестная жидкость.